Методичка. Теория вероятностей. ФЛА II курс

18.Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного

первым заводом, равна p1, второго p2. Определить надежность наудачу выбранного прибора.

19.В двух ящиках находятся микросхемы. В первом ящике – 12 микросхем, из них одна нестандартная, во втором – 10 микросхем, из них две нестандартных. Из первого ящика наугад взята микросхема и переложена во второй. Найти вероятность того, что наугад извлеченная из второго ящика микросхема будет нестандартной.

20.Перед Новым годом четыре ребенка написали письмо деду Морозу. Вероятности исполнения их желаний равны 0,95; 0,7; 0,53 и 0,03. Найти вероятность исполнения одного из наудачу прочитанных писем.

21.Вероятность того, что 1-я группа из пяти студентов помнит письмо Онегина Татьяне, равна 0,85; для 2-й группы из 10 студентов эта вероятность составляет 0,5; для 3-й группы из 24 – 0,2. Наудачу выбранный студент получил за этот отрывок «отлично». Найти вероятность того, что отвечал студент из 2-й группы.

22.На компот Люда купила 24 абрикоса и 23 сливы. Дома девушка не удержалась и съела 1 фрукт, причем, неизвестно какой. После этого наудачу она извлекла из сумки еще два фрукта для младшего брата, которые оказались абрикосами.

Найти вероятность того, что первоначально были съедены: а) абрикос;

б) слива.

23.В магазине 5 электрических и 6 механических соковыжималок. Вероятность неисправности 0,2 для электрической и 0,1 для механической. Продавец для собственных нужд взяла одну, не обратив внимания, какую. Найдите:

а) вероятность того, что прибор исправен; б) вероятность того, что соковыжималка оказалась электрической, если известно, что прибор исправен.

24.Магазин приобретает чай у двух фабрик, при этом первая из них поставляет 2/3 всего товара. Продукция высшего сорта для первой фабрики составляет 90%, а для второй 80%. Найти вероятность, что купленная наугад пачка чая будет пачкой высшего сорта.

25.В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое выше, чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95%, для второго цеха – 90%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие.

а) Найти вероятность того, что оно окажется изделием высшего качества. б)Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества?

Раздел VII: Схема Бернулли.

Формула Бернулли

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A. Появление события A в каждом испытании называют «успехом», непоявление – «неудачей». Вероятность того, что событие A в серии из n испытаний произойдет ровно k раз и не произойдет n– k раз определяется по формуле Бернулли:

31

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Pn (k)= Cnk pk qn−k ,

где q=1–p вероятность неудачи, то есть события A . Саму серию испытаний называют схемой Бернулли.

Замечание: прежде чем использовать формулу Бернулли необходимо убедится, что испытания независимы.

Пример 2: Известно, что изделия в среднем содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти наугад взятых изделий: а) нет ни одного бракованного; б) будет ровно два бракованных.

Замечание: Выражение «в среднем 5%» не означает, что из 100 деталей ровно 5 бракованных, а значит, что вероятность взять бракованную деталь равна 0,05 вне зависимости от того, какая деталь была выбрана дл этого.

Решение: За испытание возьмем выбор изделия. Всего испытаний n=5. Успех A={изделие бракованное}. p = 0,05 , q =1− p = 0,95 . В силу последнего замечания

p=0,8. Какова вероятность, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?

Решение: Нас интересует вероятность события B={взойдет не менее 4 семян}. Пусть испытание – наблюдение за одним из посеянных семян (n=5), а успех A={семя взойдет}. Воспользоваться напрямую формулой Бернулли нельзя, так как нужно задать конкретное число успехов. Однако эту задачу можно привести к схеме Бернулли:

B=B1+B2

B1={взойдет ровно 4 семени}; B2={взойдет ровно 5 семян}.

Последние два события несовместны, поэтому вероятность их суммы равна сумме

Пример 4: Вероятность рождения мальчика 0,515. В семье 6 детей. Какова вероятность того, что среди них не более двух девочек?

Решение: Испытание – определение пола ребенка. Успех A={ребенок – девочка}.

32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

B={из 6 детей не более двух девочек}. Рассмотрим события:

B0={в семье нет девочек}; B1={в семье одна девочка}; B2={в семье две девочки}.

B=B0+B1+B2

n=6; p=0,485; q=0,515.

их вероятности будут равны Pn (k0(1) ) = Pn (k0(2) ).

Пример 5: Батарея дала 14 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект p=0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

Решение: p=0,2 – вероятность попадания в объект; q=0,8 – вероятность промаха; n=14. Наивероятнейшее число попаданий k0 определяется из неравенств np– q≤k0≤np+p

n×p=14×0,2=2,8; 2,8–0,8≤k0≤2,8+0,2; 2≤k0≤3

Таким образом, наивероятнейшее число попаданий равно 2 и 3. Найдем их вероятности:

Пример 6: Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна p=0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

Решение: p=0,8 – вероятность попадания; q=0,2 – вероятность промаха; k0=20 – наивероятнейшее число попаданий; n – ? – число выстрелов. Для определения n воспользуемся неравенствами np–q≤k0≤np+p:

n×0,8–0,2≤20≤n×0,8+0,8 Þ 19,2≤n×0,8≤20,2 Þ 24≤n≤25,25

Так как n – целое число, то оно может быть равно либо 24, либо 25. Подсчитаем вероятность 20 попаданий при 24 и 25 выстрелах:

33

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

P24 (20) = P25 (20).

Для того, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20 нужно провести либо 24, либо 25 выстрелов, причем вероятности ровно 20 попаданий при 24 и 25 выстрелах равны.

Задачи к разделу VII:

1.Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании монеты сработает неправильно, равна 0,03. Найдите наиболее вероятное число случаев правильной работы автомата, если будет опущено 150 монет.

2.Перерасход горючего в течение рабочего дня наблюдается в среднем по парку у 20% машин. Найдите вероятность того, что из десяти вышедших на линию машин перерасход горючего произойдет не менее, чем у трех машин.

3.Каждый билет лотереи независимо от остальных билетов выигрывает с вероятностью 0,001. У меня 20 билетов. Чему равна вероятность того, что я выиграю:

1) хотя бы по одному билету;

2) не менее, чем по двум билетам?

4.Вероятность попадания стрелка в десятку равна 0,7, в девятку – 0,3. Чему равна вероятность того, что при трех выстрелах стрелок наберет не менее 29 очков?

5.В помещении четыре лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы 0,8. Найти вероятность того, что к концу года горят ровно три лампы. Чему равно наивероятнейшее число ламп, которые будут работать в течение года?

6.Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии исключен): больше одной партии из четырех или больше двух партий из пяти?

7.Для нормального обслуживания пассажиров на данном маршруте требуется не менее 20 автобусов. Всего же для этой цели выделено 22 автобуса с учетом того, что каждый из них, независимо от остальных, выходит на линию с вероятностью 0,95. С какой вероятностью обслуживание пассажиров на данном маршруте будет нормальным?

8.На испытательном стенде было установлено 10 приборов. Известно, что каждый из них, независимо от остальных приборов, во время испытания выходит из строя с вероятностью 0,15. Вычислить:

1) вероятность того, что за время испытаний отказало ровно три прибора; 2) условную вероятность того, что отказало ровно три прибора, если известно, что не все приборы выдержали испытание.

9.В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 6 человек. По требованию одного из них лифт остановился на 7 этаже. С какой вероятностью на этом этаже из лифта (из числа данных шести пассажиров):

1) вышел лишь один человек;

2) вышли два человека;

3) вышли не менее двух человек;

4) вышли шесть человек.

34

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Для каждого человека шансы выйти со 2 по 9 этаж одинаковы. Люди выходят независимо друг от друга.

10.Для стрелка, выполняющего стрельбу в тире, вероятность попасть в «яблочко» при одном выстреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 0,25. Стрелок сделал 5 выстрелов. Найти вероятность:

1)хотя бы одного попадания;

2)ровно одного попадания;

3)не менее трех попаданий.

11.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов нужно произвести, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?

12.Пара игральных костей бросается 7 раз. Найти вероятность того, что сумма очков на двух костях, равная семи, выпадет дважды.

13.Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,95. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятнейшее число нестандартных деталей равнялось 55?

14.Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» и «нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, которые даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа правильных ответов.

15.Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки при 46 бросаниях игральной кости.

16.Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному.

17.Что вероятнее: выиграть у равносильного партнера ровно три партии из четырех или ровно пять партий из восьми? (Ничья исключается).

18.По данным технологического контроля в среднем 2% выпущенных станков нуждаются в дополнительной регулировке. Какова вероятность того, что из шести выпущенных станков не менее двух потребуют дополнительной регулировки?

19.Производится 2n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность успеха равна р. Найдите вероятность того, что все испытания с четными

номерами закончатся успехом и общее число успехов будет равно n + m (0 ≤ m ≤ n).

20.Определите вероятность того, что номер первой встретившейся автомашины не содержит: а) цифры 5; б) 2 и более пятерок; в) ровно 2 пятерки. (Предполагается, что номер машины состоит из 4 цифр).

21.В биноминальном эксперименте, состоящем из трех испытаний, вероятность ровно двух успехов в 12 раз больше вероятности трех успехов. Найти р – вероятность успеха в одном испытании.

22.В библиотеке имеются книги только по технике и математике. Вероятности того, что любой читатель возьмет книгу по технике и по математике, равны соответственно 0,7 и 0,3. Определить вероятность того, что пять читателей подряд возьмут книги или только по технике, или только по математике, если каждый из них берет только одну книгу.

23.Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответа, причем один из них правильный, а остальные неправильные. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий ни

35

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

одного вопроса, даст: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3 правильных ответов (предполагается, что учащийся выбирает ответы наудачу).

24.При передаче сообщения вероятность искажения для каждого знака равна 0,1. Какова вероятность того, что сообщение из 5 знаков: а) не будет искажено; б) содержит ровно одно искажение; в) содержит не более 3 искажений?

25.В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Вычислите вероятность того, что на 6-м этаже:

1)не выйдет ни один из них;

2)выйдет один из них;

3)выйдут трое из них.

Для каждого человека шансы выйти со 2 по 9 этажи одинаковы. Люди выходят независимо друг от друга.

36

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ЧАСТЬ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

§1. Одномерные случайные величины.

Пусть (W,S , p ) – вероятностное пространство ( W - пространство элементарных событий, S - σ -алгебра событий, p -вероятности событий); - множество

вещественных чисел.

Будем обозначать X случайную величину, x - принимаемые этой величиной значения.

Случайной величиной X называется числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий W , которая каждому элементарному событию ω ставит в соответствие число X (ω) , причем функция X (ω) должна быть такова,

F (x ) = P{X < x }

F (x ) есть неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая свойствам:

1.0 £ F (x ) £ 1

2.F (−∞) = 0, F (+∞) = 1

3.P{a £ x £ b} = F (a) - F (b )

Функция распределения дискретной случайной величины.

F (x ) = å pk

x r <x

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется

f (x ) = F ′(x )

Свойства.

1. f (x ) ³ 0

37

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если её плотность распределения:

Причем, константа однозначно определяется условием нормировки: c = 1/(b − a)

Основные числовые характеристики.

Математическое ожидание МХ .

Для дискретной случайной величины X , принимающей значения x i с соответствующими вероятностями pi :

∞

МХ = åx i × pi

i =1

(ряд предполагается абсолютно сходящимся).

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f (x ) :

∞

МХ = òx ×f (x )dx

−∞

(интеграл предполагается абсолютно сходящимся).

Начальный момент порядка k:

αk = M (X k )

Вслучае дискретной случайной величины:

n

αk = åx k pk

r=1

Вслучае непрерывной случайной величины:

38

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Для дискретной случайной величины:

Закон распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид таблицы:

39

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

где xi , y j - значения, принимаемые случайными величинами X и Y. Вероятности pij , соответствующие принимаемым значениям, удовлетворяют условию нормировки:

можно получить законы распределения для одномерных случайных величин:

(суммируем вероятности соответственно по строкам и столбцам). В результате получаем распределение для X:

Для двумерной дискретной величины функция распределения определяется так:

F(x, y) = å å pij

xi <x y j < y

Разберем пример построения функции распределения в случае, когда случайные величины X и Y заданы распределениями:

Из определения функции распределения двумерной случайной величины в случае дискретной случайной величины следует:

40

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com