Методичка. Теория вероятностей. ФЛА II курс
.pdf
Пример 6: Из таблицы чисел взято одно число. Событие A={выбранное число кратно 5}, B={данное число оканчивается нулем}. Что означает события A-B и A B ?
Решение: Число кратное 5 должно заканчиваться либо на 0, либо на 5. Тогда A-B={данное число оканчивается на цифру 5}.
B ={данное число не оканчивается на ноль}
A B ={данное число оканчивается на цифру 5}. Т.е. A-B и A B одно и то же событие.
Пример 7: Пусть A, B и C – три произвольных события. Записать выражение для заданных событий:
1)Произошло только событие A
2)Произошли все три события
3)Произошло, по крайней мере, одно из событий
4)Произошло, по крайней мере, два события
5)Произошло одно и только одно событие
6)Не произошло ни одного события
7)Произошло не более двух событий
Решение: Ответим последовательно на все 7 вопросов:
1)A B C или A-B-C
2)ABC
3)A+B+C
4)AB+AC+BC
5)ABC + ABC + A BC
6)A + B + C или A B C
7)A B + B C + A C
8)
Пример 8: Бросаются две игральные кости (кубика). События A={сумма очков равна 5}, B={хотя бы на одной из костей выпала единица}. Описать события AB и
A B .
Решение: Запишем все исходы составляющие события A и B: A={1:4; 2:3; 3:2; 4:1}, B={1:i; i:1} (i=1,2,3,4,5,6). AB={1:4; 4:1}={на одной из костей выпала единица, на другой четверка}. B ={ни на одной из костей не выпала единица}, A B ={2:3; 3:2}=}={на одной из костей выпала двойка, на другой тройка}.
Пример 9: Цепь состоит из системы контактов. Событие Аi={контакт Кi замкнут (i=1;2;3;4)}. Записать события: а) цепь замкнута; б) цепь разомкнута. Решение:
|
К1 |
|
К4 К5 |
а) |
(A1 + A2 + A3 )A4A5 |
|||||||||||||
|
К2 |
|
(A1 A2 A3 )+ A4 + A5 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Событие называется невозможным, если в результате случайного эксперимента оно не произойдет ни при каких обстоятельствах. Обозначается символом .
Пример невозможного события – выпадение двух и четырех очков при одном броске игральной кости.
Событие называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдет. Обозначается символом Ω.
11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Пример достоверного события – выпадение любого из шести очков при одном броске игральной кости.
Свойства операций над событиями:
1) A+B=B+A; 2) AB=BA; 3) A + A = Ω ; 4) AΩ=A; 5) AA = ; 6) A = A ; 7) A - B = AB ;
8) (A+B)C=AC+BC; 9) A + B = A B ; 10) AB = A + B .
Свойства 1)-7) непосредственно следуют из определения операций над событиями.
Покажем свойство 8). Удобно использовать графический метод, так называемые диаграммы Эйлера. События представляются как множество точек на плоскости. Нужно показать, что множество левой части равенства совпадает с множеством
правой части. |
(A+B)C |
= |
|
AC+BC |
|
C |
AC |
C |
|
|
|
BC |
||
|
|
|
|
|
A |
|
= |
A |
B |
|
|
B |
|
|
|
A+B |
|
|
|
9) |
A + B |
= |
|
A B |
|
|
|
||
A A+B |
|
= |
A |
|
B |
B |
|||
|
|
|||
|
|
|
10) |
|
= |
|
+ |
|
|
AB |
A |
B |
A |
AB |
|
= |
A |
|
B |
|||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Пример 10: Упростить заданные выражения.
1)A(B + B)+ AB = AΩ + AB = A(Ω + B)= AΩ = A
2)(A B)= (A + B)= A + B
3)(A + B)= (AB)= AB
4)(A + B)AB = AAB + BAB = AB + AB = AB
Задачи к разделу II:
1.Производится два выстрела по мишени. Образуют ли полную группу следующие группы событий: А={хотя бы одно попадание}; В={хотя бы один промах}. Объяснить.
2.Бросаются две игральные кости. События A={сумма очков равна 5}, B={хотя бы на одной из костей выпала двойка}. Опишите событие AB .
3.Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Являются ли несовместными следующие события: А={появления герба на первой монете}; В={появления цифры на второй монете}. Объяснить.
4. Цепь |
состоитi |
из системы i |
контактов. |
|
|
|
|
|
К2 |
|
|
К5 |
|||
Событиеi |
А ={контакт К |
замкнут |
|
К1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
К3 |
|
|
|
|||||||||
( =1;2;3;4;5)}. Записать события: |
|
|
|
|
|
К4 |
|
|
|
||||||
a. |
цепь замкнута; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b. |
цепь разомкнута. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.Производится два выстрела по мишени. Являются ли несовместными следующие события: А={ни одного попадания}; В={одно попадание}; С={два попадания}.
6.Рабочий изготовил n деталей. События Аi={i-ая изготовленная деталь имеет дефект (i=1;2;3;4)}. Выразить через события Аi следующие события В={ни одна из деталей не имеет дефектов}, С={хотя бы одна имеет дефект}.
7.Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. Событие Аi={исправен i-ый блок первого типа (i=1;2)}, Вk={Исправен k-ый блок второго типа (k=1;2;3)}.Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие С={прибор работает} через события Аi и Вk.
8.Подбрасываются три монеты. События А={выпал хотя бы один герб}; В={выпали ровно две цифры}. Что означают события: а) АВ; б) A + B .
9.Когда возможно равенство АВ=А?
10.Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими
k |
rk |
k |
|
rk |
k |
r1 |
< |
r2 |
< |
r3 |
<…< |
r10 |
окружностями6 |
|
( =1; |
2;3;…;10), |
причем |
|
|
|
. События |
||||
A ={попадание в |
круг радиуса |
|
( =1; 2;3;…;10)}. Что означают события |
|||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = kå=1 Ak , C = Õk =5 Ak . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11.События: А={хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный}; В={все приборы доброкачественные}. Что означают события: а) А+В; б) АВ
12.Цепь состоит из системы контактов.
Событиеi |
А ={контакт |
К |
|
замкнут |
|
К2 |
|
К3 |
|
К4 |
|
||||
|
|
|
|
К5 |
|
||||||||||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
К1 |
|
|
|
|
|
|
|
( =1;2;3;4;5)}. Записать события: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a. |
цепь замкнута; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b. |
цепь разомкнута. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
13.Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. События А={выбранное число делится на 5}; В={данное число оканчивается нулём}. Что означают события: A − B и AB ?
14.События: А={хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное}; В={бракованных изделий среди них не менее двух}. Что означают противоположные события: A и B ?
15.Когда возможно равенство: A + B = AB ?
16.Совместны ли события A и A + B ?
17.Доказать, что события A, AB и A + B образуют полную группу событий.
18.Два шахматиста играют одну партию. События: А={выиграет первый игрок}, В={выиграет второй игрок}. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?
19.По самолету запущено четыре ракеты. События Аi={i-ая ракета попала в цель (i=1;2;3;4)}. Для поражения самолета достаточно попадания одной ракеты. Записать событие (выразить через события Аi) В={самолет не поражен}.
20.Бросается игральный кубик. События А={выпало нечетное число}; В={выпавшее число не меньше 3}. Через события А и В выразить событие С={на кубике выпала 2}.
21.Упростить выражение A = (B + C)(B + C )(B + C) .
22.Из колоды вытаскивают две карты. События A={обе карты пиковой масти}, B={ни одна из них не туз}. Что означает событие A-B?
23.Опыт состоит в подбрасывании двух монет. Образуют ли полную группу следующие группы событий: А={появления двух гербов}; В={появления двух цифр}. Объяснить.
24.Стрелок производит три выстрела по мишени. Событие Аi={попадание в мишень при i-ом выстреле (i=1;2;3)}. Выразить через Аi событие В={хотя бы два попадания в мишень при трех выстрелах}.
25.Цепь состоит из системы контактов. Событие К1
Аi={контакт Кi замкнут (i=1;2;3;4)}. Записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
К2 |
|
|
К3 |
|
||||||
события: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К4 |
|
|||||
a. |
цепь замкнута; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b. |
цепь разомкнута. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Раздел III: Непосредственный подсчет вероятностей.
Существуют опыты, обладающие симметрией возможных исходов (случаев). Про сам опыт говорят, что он сводится к схеме случаев. Случаи должны удовлетворять трем следующим условиям:
1)Они должны быть несовместны (т.е. два случая не могут произойти одновременно);
2)Они должны образовывать полную группу событий (т.е. опыт должен заканчиваться одним из случаев);
3)Они должны быть равновозможными (т.е. возможности появления ни одного
из случаев нельзя отдать предпочтение).
Вероятность события А определяется как отношение числа случаев, составляющих событие А, к общему числу случаев:
P (A) = mNA
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Пример 1: В урне a - белых, b - черных шаров. Наугад берут один шар. Найти вероятность событий A={шар белый} и B={шар черный}.
Решение: Пронумеруем шары, что бы их различать. Пусть № 1, 2, …, a – номера белых шаров, № a+1, a+2, …, a+b – номера черных шаров. Возьмем за случай событие ω={изъят шар с № i} (i=1, 2, …, a+b). Очевидно эти события удовлетворяют всем вышеперечисленным трем свойствам. Всего случаев a+b. Число случаев благоприятных событию A равно a, благоприятных событию B – b. Таким образом N= a+b, mA=a, mB=b.
P (A) = |
mA |
= |
a |
|
P (B) = |
mB |
= |
b |
. |
N |
a + b |
; |
N |
a + b |
Пример 2: В урне a - белых, b - черных шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что один из шаров будет белый, а другой черный.
Решение: Найдем вероятность события A={один из вынутых шаров белый, другой черный}. Пронумеруем шары также как в предыдущей задаче. Рассмотрим событие ω={вытащили два шара с номерами i и j} (i, j=1, 2, …, a+b, i≠j). Очевидно они образуют полную группу несовместных событий. Также эти события равновозможные. Действительно, шансы вытащить шары с номерами, к примеру, «1» и «3», точно такие же как и у шаров с номерами, к примеру, «2» и «6». Таким образом, события ω можно считать случаями. Подсчитаем общее число случаев. В данной задаче случаи это комбинации, состоящие из двух шаров, выбранных из общего числа шаров a+b. Поскольку порядок в котором были выбраны два шара один за другим здесь не важен, то эти комбинации отличаются друг от друга только составом, что по определению является сочетанием. Тогда число случаев равно числу сочетаний из
a b |
N Ca2 b |
2! |
(a |
|
+b ) |
2 ! |
|
( |
a |
+ |
b |
)(2 + |
b |
− |
) |
||
общего числа шаров + по 2 шара: |
= + = |
|
a |
|
b ! |
|
= |
|
|
a |
|
1 |
|||||
( |
+ |
− |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Благоприятными случаями являются те комбинации, в которые входят один белый и один черный шары. Подсчитаем число таких комбинаций. Один белый шар можно выбрать a способами. Один черный шар можно выбрать b способами. Тогда число комбинаций в которых один шар белый, другой черный равно mA=ab.
P ( A) = |
mA |
= |
2ab |
|
N |
(a + b)(a + b −1) |
. |
||
Пример 3: В урне a - белых, b - черных шаров. Из урны вынимают сразу n (n < a+b) шаров. Найти вероятность того, что из них m (m < a) шаров будут белые, а
остальные n- m черные. |
|
|
|
|
|
A |
n |
|
m |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение: |
Найдем вероятность события |
|
белых, остальныеi i |
|||||||||||||||||||||||||||||
n-m |
|
|
|
|
={из вынутых |
nшаров |
|
|
||||||||||||||||||||||||
i |
n |
|
черные}.n |
Возьмем за случай событие ω={вытащили |
шаров с номерами 1, |
|
2, …, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
i |
2, …, |
i = |
|
|
|
|
|
a b i ≠i ≠ ≠in |
). Так как порядок в котором были вытащены |
||||||||||||||||||||
|
|
} ( 1, |
|
|
|
1, 2, …, |
n |
+ |
, 1 |
2 … |
||||||||||||||||||||||
шары не важен, то на случаиa b |
можно смотреть как на сочетания. Тогда общее число |
|||||||||||||||||||||||||||||||
случаев |
равно |
N |
= |
C |
+ |
.n Подсчитаем |
|
число |
благоприятных случаев. Из |
всех |
||||||||||||||||||||||
комбинаций (случаев) по |
шаров нужно выбрать те, в которых |
m |
белых шаров и |
n-m |
||||||||||||||||||||||||||||
черных. |
Число |
таких |
комбинаций |
равно |
произведению |
|
числа комбинацийa |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
белыхmшаровn m , выбранных из общего числа белых шаров |
C |
m |
, на |
|||||||||||||||||
составленных изn m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
число комбинацийb |
, |
составленныхa b |
из |
n-m |
черных шаров, выбранных из общего числа |
|||||||||||||||||||||||||||
черных шаров |
C |
− |
: |
mA |
= |
C |
C |
− . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
P (A) = |
m |
A |
= |
CmCn−m |
|
a b |
|||
|
|
|||
|
N |
Cn |
||
|
|
|
|
a+b |
Пример 4: В ящике N деталей. Из них n бракованных. Наугад из ящика берут K деталей, а затем из этих K деталей также наугад берут одну деталь. Найти вероятность того, что эта деталь бракованная.
Решение: Найдем вероятность события A={деталь бракованная}. Для того чтобы различать детали присвоим каждой из них номер. Пусть № 1, 2, 3, …, n – бракованные детали, № n+1, n+2, …, N – годные детали. Возьмем за случай событие wi={взятая из K деталей деталь имеет № i (i=1, 2, …, N)}. Очевидно эти события несовместны (деталь может иметь только один номер), образуют полную группу событий (опыт обязательно закончится одними из событий wi) и равновозможны (шансы быть вытащенной у каждой детали одинаковы). Всего случаев N, благоприятных событию А только первые n из них. Тогда P(A)=n/N.
Пример 5: При наборе телефонного номер абонент забыл две последние цифры и набирал их наугад, помня только, что эти цифры нечетные и различные. Какова вероятность того, что номер набран верно?
Решение: Выпишем нечетные цифры: 1; 3; 5; 7; 9 – их пять. Телефонный номер должен заканчиваться на 2 цифры, взятые из этого ряда. Для определенности пусть это будут цифры «7» и «9», т.е. номер телефона оканчивается «79». Тогда интересующее нас событие A={последние две цифры, набранные абонентом, «79»}. Случай состоит в наборе двух неповторяющихся нечетных цифр. Подсчитаем общее число случаев. В данной задаче важно не только какие две цифры были набраны, но
и в каком порядке5. Таким |
образом общее число случаев равно числу размещений из |
|||||||||
|
|
|
N = A2 = |
|
5! |
|
= 5×4 = 20 |
|
mA= |
|
5 цифр по 2: |
|
|
|
|
|
. Благоприятных случаев только 1: |
1. Тогда |
|||
|
. |
(5 |
- 2)! |
|
||||||
P (A) = |
mA |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
20 |
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 6: Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадет в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью независимо от других (препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажутся три шарика, в другой один, а в двух остальных шариков не будет.
Решение: Пронумеруем лунки: 1, 2, 3, 4. За случай возьмем событие w={первый шарик попал в i-ую лунку, второй в j-ую, третий в k-ую, четвертый в l-ую} (i, j, k, l =1, 2, 3, 4). Тогда случай можно записать как комбинацию из четырех цифр 1, 2, 3 и 4 в которой цифры могут повторяться w={ijkl}. Порядок расположения цифр здесь важен, поскольку место под цифру определяет номер шарика. Подсчитаем число таких комбинаций. Первую позицию этой комбинации можно заполнить любой из четырех цифр n1=4. Вторую позицию, поскольку цифры повторяются, также можно заполнить любой из четырех цифр n2=4. Аналогично n3=n4=4. Тогда общее число комбинаций (случаев) определяется перемножением способов заполнения четырех
позиций: N = n1n2n3n4 = 4×4×4×4 = 44 . Подсчитаем число благоприятных случаев.
Событие А={В одной из лунок оказались три шарика, в другой один, а в двух остальных шариков не оказалось} соответствует тем комбинациям, в которых три цифры одинаковые и одна отличная от них. Составим такие комбинации. Вначале выберем позицию под неповторяющуюся цифру. Это можно сделать четырьмя
16
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
способами n1=4. Затем заполним эту позицию одной из четырех цифр n2=4. Затем оставшиеся три позиции заполним одной из трех оставшихся цифр n3=3. Тога число
таких комбинаций (благоприятных случаев) равно mA = n1n2n3 = 4×4×3 = 42 ×3
P ( A) = mA = 42 ×3 = 3
N 44 16
Задачи к разделу III:
1.В лотерее выпущено n билетов, из которых m выигрышных. Куплено k билетов. Найти вероятность того, что:
a.из k билетов хотя бы один выигрышный;
b.из k билетов ровно один выигрышный.
2.В генуэзской лотерее разыгрывается 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность двух, трех, четырех или пяти номеров, причем для получения выигрыша должны выиграть все выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каждом из пяти указанных случаев?
3.Комиссия из трех человек выбирается из группы, содержащей 20 человек. Найти вероятность того, что:
a.определенный человек войдет в комиссию;
b.он не войдет в комиссию.
4.В связке галстуков 10 зеленых, 6 красных и 4 желтых галстука. Трое мужчин выбирают себе галстук. Найти вероятность того, что они выберут себе галстуки одинакового цвета.
5.Все номера автомобилей четырехзначные, начиная с 0000, не повторяющиеся, равновозможные. Определить вероятность того, что номер первого встретившегося автомобиля имеет ровно 2 одинаковые цифры.
6.Все номера автомобилей четырехзначные, начиная с 0000, не повторяющиеся, равновозможные. Определить вероятность того, что номер первого встретившегося автомобиля:
a.не содержит одинаковых цифр;
b.имеет не менее 2 одинаковых цифр.
7.Составляя список гостей, которые будут приглашены на день рождения, хозяйка пронумеровала их, получилось 14 человек. Забыв про список, наудачу она набрала номера девяти друзей. Найти вероятность того, что в составе приглашенных оказались:
а) №9 и №13; б) №1, №5 и №14.
8.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
9.В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1; 2; ...; 10. Наудачу извлечены шесть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: А. Деталь № 1. Б. Детали № 1 и № 2.
10.Выбирается пятизначное число. Найти вероятность того, что:
a.число одинаково читается как слева направо, так и справа налево
(например 13531);
b.число содержит хотя бы одну из цифр 2 или 3;
c.число состоит из нечетных цифр.
17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
11.В ящике находится 5 книг. Мальчик 5 раз берет из ящика по одной книге, каждый раз возвращает книгу обратно. Найти вероятность того, что все 5 выбранных книг были различными.
12.В партии из 8 телевизоров половина не настроены. Наудачу отобраны три телевизора. Какова вероятность того, что в число отобранных попадет хотя бы один настроенный.
13.Из колоды в 36 листов вынимаются наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз.
14.Из партии, содержащей 20 радиоприемников, среди которых 6 неисправных, для проверки отбирают 3 приемника. Найти вероятность того, что:
a.все отобранные приемники исправны;
b.все отобранные приемники неисправны;
15.Четыре посетителя театра сдали свои шляпы в гардероб одновременно и получили от гардеробщицы номерки. Но после этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад на четыре номера. Найти вероятность, что каждому из четырех лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу.
16.N человек рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что два фиксированных лица окажутся рядом. Как изменится ответ, если N человек рассаживаются в произвольном порядке вдоль одной скамьи?
17.На складе имеется 15 телевизоров, причем 10 из них изготовлены фирмой SONY. Найти вероятность того, что из пяти взятых наудачу телевизоров ровно три окажутся фирмы SONY.
18.В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:
a.ровно одно окрашенное изделие;
b.два окрашенных изделия;
c.хотя бы одно окрашенное изделие.
19.Игральная кость брошена три раза. Найти вероятность того, что все выпавшие грани различны.
20.Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Определить вероятность того, что извлеченный кубик будет иметь:
a.три окрашенные грани;
b.ровно две окрашенные грани;
c.ровно одну окрашенную грань.
21.Из колоды в 52 карты извлекают три карты. Найти вероятность того, что извлечены тройка, семерка и туз (неважно какой масти).
22.Найти вероятность того, что в группе из n человек (n≤365) хотя бы у двух дни рождения совпадут. Для простоты положить, что 29 февраля не является днем рождения кого-нибудь из рассматриваемой группы людей.
23.В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли 5 человек. Известно, что каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пятеро выйдут на разных этажах.
24.В кафе имеется 6 свободных столов по два места за каждым столом, 3 стола из которых – для самообслуживания. Найдите вероятность того, что две пришедшие пары займут столы, которые обслуживаются официантами.
25.Полная колода карт (52 листа) делится на две равные части. Найти вероятности того, что:
a.в каждой части будут по два туза;
b.в одной из частей не будет ни одного туза.
18
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Раздел IV: Геометрические вероятности.
|
Классическое определение вероятности не подходит для |
|
u |
|
случаев, когда исходы опыта составляют несчетное множество. |
|
A |
||
Самым простым примером может служить следующая задача: В |
Ω |
|
||
пределы некоторой области Ω случайным образом бросается |
|
|
||
точка |
u |
. Необходимо найти вероятность того, что точка попадет |
|
|
|
|
|
||
в область А. Выражение «случайным образом», означает, что шансы попасть в любую точку области Ω одинаковы. Тогда вероятность попадания
точки u в область А логично определить как отношение площадей области А к области Ω:
P ( A) = SA .
SΩ
Можно распространить этот принцип определения вероятности на общий случай несчетного множества элементарных исходов опыта:
|
|
|
( |
|
) = |
mes |
|
A |
|
, |
|
|
P |
A |
mes |
( |
Ω) |
||||
|
|
|
|
( |
|
) |
|
|||
где mes ( A) – мера события А, mes ( |
|
Ω) |
– мера пространства элементарных исходов Ω. |
|||||||
|
||||||||||
В предыдущем примере мерой множества элементарных исходов была площадь. Можно привести пример, где мерой будет длина: на отрезок BC наудачу бросается точка u. Найдем вероятность попадания точки u на отрезок DE:
B u D |
E C |
A={точка u попала на отрезок DE}.
P (A ) = |
mes (A ) |
= |
lDE |
|
mes (Ω) |
|
. |
||
lDC |
||||
Здесь lDE – длина отрезка DE, lDC – длина отрезка BC.
Такой способ определения вероятностей называется геометрическим. Он применим только тогда, когда все точки пространства элементарных исходов Ω равновозможны.
Пример 1 (задача о встрече): Двое условились о встрече в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа и не дождавшись уходит. Найти вероятность встречи, если каждый приходит случайным образом.
Решение: Обозначим через x – момент прихода первого участника встречи, а через y – момент прихода второго. Очевидно 12≤x≤13 и 12≤y≤13. Тогда пространство элементарных исходов это множество точек (x, y) удовлетворяющих этим неравенствам: Ω = {(x, y) :(12 ≤ x ≤ 13)I (12 ≤ y ≤13)}. Условие того, что каждый из
участников встречи ждет не более четверти часа можно представить в виде:
19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ì |
|
|
y - x |
|
£ |
1 |
ü |
ì |
|
|
|
1 |
£ y - x £ |
1 |
ü |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
A = í(x, y): |
|
|
ý = |
í(x, y): - |
|
|
ý |
|
|||||||||||||||||
î |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
þ |
î |
|
A |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x. y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
þ |
0 . |
|||
Изобразим множества Ω и |
|
на плоскости |
|
||||||||||||||||||||||
За начало |
отсчета |
|
возьмем |
|
|
|
12 |
часов. |
|||||||||||||||||
Элементарным исходом |
w |
будет точка |
с |
||||||||||||||||||||||
координатами |
|
|
|
|
x y |
). |
|
|
Пространством |
||||||||||||||||
|
|
|
|
( , |
|
|
|
||||||||||||||||||
элементарных |
исходов является |
квадрат |
со |
||||||||||||||||||||||
стороной, равной 1. Событие |
A |
состоит |
из |
||||||||||||||||||||||
точек |
заштрихованной |
|
области. |
|
Тогда |
||||||||||||||||||||
вероятность события |
|
A |
равна |
|
|
отношению |
|||||||||||||||||||
площади заштрихованной области2 |
к площади |
||||||||||||||||||||||||
квадрата. |
|
|
|
|
1- 2× |
1 ×ç 3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P ( A) = |
SA |
= |
S - 2S = |
|
|
|
2 è 4 ø |
|
|
= |
7 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
SΩ |
S |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
||||||
y |
- x = |
1 |
|
|
y |
|
|||
13 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
w(x,y) |
|
|
|
|
|
|
|
A |
y - x = - 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
12 4 |
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
12 |
|
|
x |
|
|
1 |
|
13 |
|
12 |
|
|||
|
|
4 |
|
|
Пример 2 |
|
|
|
|
На плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
параллельные |
прямые, |
|
расстояние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нанесены |
|
(задача Бюффона): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
asinϕ |
a |
|
2 |
||||
между которыми |
равно |
L. |
На эту |
плоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
φ |
x |
||||||||||||
наугад бросается игла длиной a (a≤L). Какова |
|
L |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
вероятность того, что игла пересечет одну из |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
начерченных линий? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение: Пусть φ – угол наклона иглы к прямой, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
– расстояние |
от |
нижнего |
конца |
|
x |
|
φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
иглы |
|
до |
|
|
|
L |
|
x |
|
|
L |
||||||||
ближайшей верхней прямой. Очевидно |
|
и |
|
– два x |
независимых |
параметра, |
|||||||||||||
определяющих положение иглы относительно прямых. 0≤ ≤ |
|
(если |
|
будет больше , |
|||||||||||||||
то ближайшей верхней прямой будет прямая 3 и расстояние от нижнего конца иглы будет определяться до нее). 0≤φ≤π (если φ будет меньше 0 или больше π, то «нижний» конец иглы становится верхним). Игла
будет пересекать прямую при условии, что x x ≤ asinϕ .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = {(ϕ, x): x £ asinϕ} |
; |
L |
w(ϕ , x) |
|
|||
W = |
{( |
ϕ, x |
) |
: |
( |
0 £ ϕ £ π |
) |
I |
( |
0 £ x £ L |
)} |
|
|
Ω |
||||||||
Таким |
|
|
|
|
образом |
|
|
|
ϕ |
|
x |
a |
|
x = asinϕ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
||||
Изобразим |
|
|
на |
|
|
|
W |
|
|
|
0 |
A пространство |
|
|||||||||
|
|
плоскости |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
P A = |
mes ( A) |
= |
SA |
и событие . |
|
0 |
π/2 |
π |
||||||||||||
элементарных( ) |
исходов |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
mes (W) |
|
SΩ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SA = ò0 a sinϕdϕ = 2a ; |
SΩ = Lπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Тогда P ( A) = |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Lπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Задачи к разделу IV: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com