Раздел V: Условные вероятности. Вероятности сумм и произведений событий.

Вероятность суммы двух совместных событий:

.

Вероятность суммы трех совместных событий:

.

Вероятность суммы n несовместных событий:

.

Вероятность произведения двух событий:

.

Если , то говорят, что событияA и B независимы. Тогда .

Вероятность произведения n событий:

.

Если события A_i (i=1,2,…,n) независимы, то .

Пример 1: Из колоды в 52 карты вытаскивается одна карта. Какова вероятность того, что это будет либо дама, либо карта пиковой масти?

Решение: Рассмотрим события А={извлечена дама} и В={извлечена карта пиковой масти}. Нас интересует сумма этих двух событий А+В={извлечена либо дама, либо карта пиковой масти}.

P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB), где AB={извлечена пиковая дама}.

(13 одинаковой масти), .

.

Пример 2: В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными.

Решение: Нас интересует событие A={вытащенные пуговицы одноцветные}. Представим событие A как сумму двух несовместных событий: A=A₁+A₂,

где A₁={обе пуговицы красные}; A₂={обе пуговицы синие}.

Так как события несовместны, то P(A)=P(A₁)+P(A₂).

Представим A₁ и A₂ как произведение двух событий: A₁=B₁B₂; A₂=C₁C₂,

где B₁={первая пуговицы красная}, B₂={вторая пуговицы красная},

С₁={первая пуговицы синяя}, С₂={вторая пуговицы синяя}.

Тогда P(A₁)=P(B₁)P(B₂B₁); P(A₂)=P(C₁)P(C₂C₁).

; – вероятность того, что вторая пуговица красная, если точно известно, что первая пуговица тоже красная.

Аналогично ;.

Следовательно ,,.

Пример 3: Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны p₁, p₂, p₃. Найти вероятность того, что в мишень произойдет ровно два попадания.

Решение: Запишем событие, вероятность которого нас интересует:

A={ровно два попадания}.

Событие A представим в виде трех несовместных события: A=A₁+A₂+ A₃, где

A₁={попал; попал; промах}; A₂={попал; промах; попал}; A₃={промах; попал; попал}.

Каждое из событий A_i можно представить, как произведение трех независимых событий:

B₁={попадание при I выстреле};B₁={промах при I выстреле};

B₂={попадание при II выстреле};B₂={промах при II выстреле};

B₃={попадание при III выстреле};B₃={промах при III выстреле}.

; ;.

; ;;;;.

Поскольку события B_i независимы, то ,;.

Так как события A_i несовместны, то

.

Пример 4: Одна торпеда попадает в корабль с вероятностью ½. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для его потопления достаточно попадания одной торпеды?

Решение: A={корабль потоплен}. Будем искать вероятность противоположного события ={корабль не потоплен}. Введем дополнительные события:B_i={i-ая торпеда попала в цель (i=1,2,3,4.)}. {i-ая торпеда не попала в цель (i=1,2,3,4.)}.

, .

Корабль будет потоплен, если в него попадет хотя бы одна торпеда. Сформулируем фразу противоположного смысла: корабль не будет потоплен, если в него не попадет ни одной торпеды. Таким образом . Поскольку событияB_i независимы, то будут независимы и противоположные к ним события, и тогда

, .

Замечание: Если в задаче встречается формулировка «хотя бы один…», то удобнее перейти к противоположному событию, смысл которого «ни одного…».