Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATAN01

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Задание


1.	Найти cos arcsin −	8	− arccos	−			3	!.
1.	Найти cos arcsin −	17	− arccos	−			5	!.
2.	Выразить через арккосинус arcsin				4	− arccos			5	.

					5				13

Доказать справедливость равенств

3.arcctg 2 + arcctg 3 = π4 .

4.arctg x + arcctg x = π2 . Решить уравнения

5.arcsin 2x + arcsin x = π3 .

6.arctg (x − 1) + arctg (x + 1) = π4 .

7.Выразить арккосинус через арктангенс.

Ре ш е н и я

	8																3
1.	Введем обозначения arcsin −					= α, arccos −												= β. То-
1.	Введем обозначения arcsin −				17	= α, arccos −											5	= β. То-
	гда, используя определения арксинуса и арккосинуса, имеем
		π					π
	−		< α < 0,						< β < π,
	−	2	< α < 0,				2		< β < π,
	sin α = −17 , cos α =												=	17 ,
	sin α = −17 , cos α =							1 − 289					=	17 ,
				8						64					15
	cos β = −5 , sin β =										=			5 .
	cos β = −5 , sin β =								1 − 25		=			5 .
	3					9								4
	Окончательно находим
						45								32					77
	cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β = −													−			= −			.
	cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β = −											85		−		85	= −		85	.
																			81

			4								β = arccos										5
2.	Пусть α = arcsin								,																	. Тогда
2.	Пусть α = arcsin							5	,													13				. Тогда
			0 < α <							π													π											π									π
											, 0 < β <														,						−				< α − β <												,
										2	, 0 < β <												2		,						−			2	< α − β <								2				,
	sin α =				4		,			cos α =									3	,			cos β =												5		,	sin β =									12		.
	sin α =						,			cos α =								5		,			cos β =														,	sin β =									13		.
			5															5																13													13
	Уточним интервал, в который попадает угол α−β. Из неравенства
	4		12
	sin α =		<			= sin β следует, что α < β и разность α − β
	sin α =	5	<	13		= sin β следует, что α < β и разность α − β
	отрицательна, т.е.															π
													−			π			< α − β < 0.

																2
	Используя неравенство 0 < β −																												π
																					α <											, получаем
																					α <								2			, получаем
	cos(β − α) = cos β cos α + sin β sin α =																																					15		48							63
																																							+					=						,
																																						65	+	65				=				65		,
																													63
													β − α = arccos																						.
													β − α = arccos																				65		.
	Окончательно имеем
													4																5											63
			α − β = arcsin															− arccos																= − arccos											.
			α − β = arcsin												5			− arccos												13				= − arccos							65				.
3.	Положим α = arcctg 2,													β = arcctg 3,																				0 < α, β <								π
																																														.
																																										2				.
	Используя формулу для котангенса суммы двух углов, получаем
			ctg (α + β) =											ctg α ctg β − 1																				=		2 · 3 − 1				= 1.
			ctg (α + β) =											ctg α + ctg β																				=		2 + 3				= 1.
														ctg α + ctg β																						2 + 3
	Откуда с учетом неравенства 0 < α + β < π устанавливаем, что
																α + β =												π			.
																α + β =															.
																					4
4.	При доказательстве используем тот факт, что если тангенсы уг-
	углы:																				− 2								2
	лов, заключенных в интервале																										π			,		π			, равны, то равны и эти
	лов, заключенных в интервале																													,					, равны, то равны и эти
						tgπ											tg			β,				π												α = β.
												α =								β,
													< α, β <
													< α, β <
82						− 2															2
82

Рассмотрим углы arctg x и

− arcctg x. Оба угла заключены в

интервале −

, так как по определению арктангенса

−

< arctg x <

По определению арккотангенса 0 < arcctg x < π и поэтому

−

− arcctg x <

Тангенсы этих углов совпадают:

tg ( arctg x) = x,

− arcctg x = ctg ( arcctg x) = x.

Следовательно, эти углы равны

arctg x = π2 − arcctg x.

5.Очевидно, что неизвестное x должно быть положительным, так как при x ≤ 0 в силу свойств арксинуса arcsin 2x + arcsin x ≤ 0.

Введем обозначение

α =

arcsin 2x,

β =

arcsin x. Тогда 0 <

α, β ≤

sin α = 2x, cos α =

1 − 4x2, sin β = x,

cos β = 1 − x2.

Используя соотношение cos(α + β) =

, запишем уравнение для

нахождения x:

1 − 4x2

1 − x2 − 2x2 =

Решая его находим x =

6.Аналогично предыдущей задаче можно установить ограничение x + 1 > 0.

Обозначая α = arctg (x − 1), β = arctg (x + 1), получаем уравнение для нахождения x

tg α = x − 1, tg β = x + 1,
tg (α + β) = 1,	tg α + tg β	= 1,	2x		= 1,
	− tg α tg β		1 − (x2
1				− 1)

x2 + 2x − 2 = 0.

Решая это уравнение с учетом ограничения на x, получаем

√

x = 3 − 1.

7.Пусть 0 < x ≤ 1. В этом случае 0 ≤ arccos x < π2 и область изменения арккосинуса совпадает с областью изменения арктангенса. Обозначим α = arccos x. Тогда

√√

cos α = x, tg α =	1 − cos2 α	=	1 − x2
	cos α		x

√

и α = arctg 1 − x2 при 0 < x ≤ 1. x

При −1 ≤ x < 0 имеем:

arccos x = π − arccos(−x) =

√

= π

= π +

− arctg

1 − x

arctg

1 − x .

Итак,

−x

√

0 < x

arctg

1 − x2

если

≤

arccos x =

√1

−

x < 0.

π +

arctg

если

−

≤

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить

	1			+ arctg	1
1. tg	arcsin	√				.
					9
	5		2

Доказать равенства

3. arcsin x + arccos x = π2 .

5. arctg (−x) = − arctg x.

7. arcctg (−x) = π − arcctg x.

		33
2. arcsin	cos	5	π .

4. arcsin(−x) = − arcsin x.

6. arccos(−x) = π − arccos x.

8.Решить уравнение arcsin 3x + arcsin 4x = π2 .

9.Выразить арккосинус через арксинус.

Ответы

1. 31 . 2. −	10 . 8.	5 . 9.			,	−1 ≤ x ≤ 0.
			π − arcsin−√1 − x2
8	π	1	arccos x = arcsin √1	x2,		0 ≤ x ≤ 1,

Занятие 3. Преобразование графиков

1. Смена знака у аргумента. График функции y = f (−x) получается симметричным отображением графика функции y = f (x) относительно оси y.

П р и м е р 1. На рис. 2.11 пунктиром изображены графики функций y = lg x и y = arccos x, сплошной линией — графики функций

y= lg(−x) и y = arccos(−x).

2.Смена знака у функции. График функции y = −f (x) (−y = f (x)) получается симметричным отображением графика функции

y= f (x) относительно оси x.

Рис. 2.11

Рис. 2.12

П р и м е р 2. На рис. 2.12 пунктиром изображен график функции y = ex, сплошной линией — график функции y = − ex.

3. Изменение аргумента на постоянное число. График функции y = f (x − a) получается из графика функции y = f (x) смещением (параллельным переносом) на a единиц вдоль положительного направления оси x (вправо), если a > 0, и на |a| единиц вдоль отрицательного направления оси x (влево), если a < 0.

П р и м е р 3. Построить графики функций y = 12 2x и y =

arcsin( x + 1). Первая функция преобразуется к виду y = 2x−1, и ее график получается из графика функции y = 2x смещением на

Заметим,что график имеет две горизонтальные асимптоты.

единицу вправо, второй график получается из графика функции y = arcsin x смещением на единицу влево (рис. 2.13).

Рис. 2.13

π	π

Рис. 2.14

4. Изменение значения функции на постоянное число. График функции y − b = f (x) (или y = f (x) + b) получается из графика функции y = f (x) смещением на b единиц вдоль положительного направления оси y (вверх), если b > 0, и на |b| единиц вдоль отрицательного направления оси y (вниз), если b < 0.

П р и м е р 4. На рис. 2.14 пунктиром изображен график функции y = arctg x, сплошной линией — график функции y = arctg x + π4 .

5. Параллельный перенос вдоль обеих координатных осей. График функции F (x − a, y − b) = 0 получается из графика F (x, y) = 0 последовательным применением предыдущих преобразований 3 и 4.

П р и м е р 5. График (x − 1)2 + (y + 1)2 = 1 можно получить из графика x2 + y2 = 1 перемещением влево и вниз на единицу (рис. 2.15).

Рис. 2.15

6. График четной функции. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Его строят сначала при x ≥ 0 и затем отражают относительно оси y.

П р и м е р 6. На рис. 2.16 изображены графики четных функций

y= lg x2 и y = x2 − 3|x| + 2.

Вчастности, функция y = f (|x|) — четная и ее график состоит из двух частей: y = f (x) при x ≥ 0 и симметрично отраженной относительно оси ординат части y = f (−x) при x < 0. Иными словами, та часть графика y = f (x), которая лежит правее оси ординат, остается без изменения, а затем добавляется эта же часть, симметрично отраженная относительно оси ординат. Это преобразование мы будем называть симметричным продолжением правой части графика функции y = f (x) (относительно оси ординат).

y	y

-1	1	x	-2	-1	1		2	x
y=lgx 2					y=x	2	-3\|x\|+2
					y=x		-3\|x\|+2

Рис. 2.16

7. График нечетной функции. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Его строят сначала при x ≥ 0, а затем симметрично отражают относительно начала координат.

П р и м е р 7. График функции y = x|x| изображен на рис. 2.17. При x ≥ 0 он совпадает с параболой y = x2.

y=x|x|

Рис. 2.17

8. График функции y = |f (x)|. Используя определение модуля действительного числа, можем записать

\|	\|		f (x),	если f (x) < 0.
y =	f (x) =	f (x),		если f (x) ≥ 0,
		−

Откуда следует правило построения этого графика: та часть графика функции y = f (x), которая лежит выше оси x, остается без изменения, а часть графика, лежащая ниже оси x, симметрично (относительно оси абсцисс) отображается вверх.

П р и м е р 8. На рис. 2.18 сплошной линией изображен график функции y = | ctg x|.

−2π

−π

2π

Рис. 2.18

9. График функции |y| = |f (x)|. В силу свойств модуля

|y| = |f (x)| y = ±f (x).

Откуда следует, что для того чтобы построить график |y| = |f (x)|, нужно к графику y = f (x) добавить график y = −f (x) (симметрично продолжить график y = f (x) относительно оси абсцисс).

П р и м е р 9. График |y| = | lg x2| (рис. 2.19) получается из графика функции y = lg x2, изображенного ранее на рис. 2.16.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.201540.49 Кб13MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_RF.docx
#
16.11.20191.59 Mб5MINISTERSTVO_OBRAZOVANIYa_I_NAUKI_ROSSIJSKOJ_FE...doc
#
27.03.201564.08 Кб11mirovaya_ekonomika.docx
#
27.03.201570.9 Кб14Mirovaya_ekonomika_Mikheeva_bilety.docx
#
16.09.2019211.97 Кб3Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
27.03.20151.12 Mб24MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб28MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб93MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб27MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб3moi_laby.docx