MMATAN02

Министерство образования и науки РФ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Национальный исследовательский университет

В.Н. Кошелев, Б.В. Лисин

ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Учебное пособие

Рекомендовано ученым советом радиофизического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 010801 “Радиофизика и электроника”,

090106 “Информационная безопасность телекоммуникационных систем”

Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета

2010

УДК 517.1 ББК В22.161.1 К 76

Рецензенты:

В.Н. Белых — доктор физ.-мат. наук, профессор В.И. Сумин — доктор физ.-мат. наук, профессор

К 76 Кошелев В.Н., Лисин Б.В. Пределы. Непрерывность функции: Учебное пособие. — Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2010. — 114 с.

ISBN 978-5-91326-154-0

Основу пособия составили лекции, читаемые студентам радиофизического факультета Нижегородского государственного университета. Общая теория предела последовательности, предела функции и непрерывности функции преподносится в метрических пространствах, что позволяет многие изучаемые вопросы рассматривать с единой точки зрения. Затем, как частные случаи этой теории, изучаются пределы вещественной и комплексной последовательности, предел последовательности векторов, а также пределы и непрерывность функции действительной, комплексной переменной и функции многих переменных. Как приложение этой теории приводится практикум, посвященный решению типичных задач на пределы и непрерывность, состоящий из 8 занятий.

Для студентов физических факультетов университетов.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии радиофизического факультета, доктор физ.-мат. наук, профессор В.Н. Мануилов

c Кошелев В.Н., Лисин Б.В. , 2010c Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2010

Оглавление

ГЛАВА 1. Теория пределов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Предел последовательности в метрическом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Предел числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Монотонные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Табличные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Предел последовательности в Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Подпоследовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7. Теорема Больцано—Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8. Верхний и нижний пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.9. Последовательность Коши. Полные пространства . . . . . . . . 30

1.10. Предел функции на метрическом пространстве . . . . . . . . . . . 32

1.11. Арифметические операции над функциями, имеющими предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.12. Предел функции действительного переменного . . . . . . . . . . . 37 1.13. Предел функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.14. Функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.15. Бесконечно малые и бесконечно большие величины . . . . . . 44

ГЛАВА 2. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.Непрерывность функции на метрическом пространстве . . 49

2.2.Непрерывность функции действительного переменного . . 53

2.3. Монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4. Непрерывность функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . 55 2.5. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

ГЛАВА 3. Практика по темам “Теория пределов и непрерывность функции” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Занятие 1. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Занятие 2. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Занятие 3. Первый и второй замечательные пределы . . . . . . . . . . . . 81 Занятие 4. Самостоятельная работа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Занятие 5. Определение предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Занятие 6. Бесконечно малые и бесконечно большие величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Занятие 7. Непрерывность функции. Точки разрыва . . . . . . . . . . . . 98

Занятие 8. Непрерывность функции. Односторонняя непрерывность. Разрывы на графике функции . . . . . . 107

Глава 1

Теория пределов

1.1.Предел последовательности

вметрическом пространстве

Определение 1.1. Последовательность {pn} в метрическом пространстве (X, d) называется сходящейся, если существует точка p X, обладающая следующим свойством: для любого ε > 0 существует натуральное число N = N (ε), такое, что при всех

n> N выполняется неравенство d(pn, p) < ε.

Вэтом случае мы будем говорить, что p — предел последова-

тельности {pn}, и будем писать

pn → p

или

X

pn → p,

или, наконец,

lim pn = p.

n→∞

Если последовательность {pn} не сходится, то говорят, что она расходится.

Используя символику, определение предела последовательности можно записать так:

n X p ( ε > 0)( N )( n , n > N ) : d(pn, p) < ε. p → N N

Следующая теорема устанавливает единственность предела сходящейся последовательности.

Теорема 1.1

Пусть {pn} — последовательность в метрическом пространстве (X, d). Если p X, p X и {pn} сходится к p и p , то p = p .

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть {pn} сходится одновременно к p

ик p , т.е.

ε

( ε > 0)( N1 N)( n N, n > N1) : d(pn, p) < 2 ,

ε

( ε > 0)( N2 N)( n N, n > N2) : d(pn, p ) < 2 .

Но тогда при n > max{N1, N2} последние два неравенства выполняются одновременно, и поэтому

d(p, p ) ≤ d(pn, p) + d(pn, p ) < ε.

Откуда в силу произвольности ε получаем

d(p, p ) = 0 p = p .

Покажем теперь, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 1.2

Пусть {pn} — последовательность в метрическом пространстве (X, d). Если {pn} сходится, то она ограничена.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть pn X p. Тогда, например, для

→

ε = 1

( N N)( n N, n > N ) : d(pn, p) < 1.

6

Положим

r = max{1, d(p1, p), d(p2, p), . . . , d(pN , p)}.

Тогда

d(pn, p) ≤ r при n = 1, 2, 3, . . . .

Характерное свойство предельной точки устанавливает следующая теорема.

Теорема 1.3

Пусть (X, d) — метрическое пространство. Если E X и p — предельная точка множества E, то существует последовательность {pn} E, такая, что pn = p, и

1.2. Предел числовой последовательности

Пусть {zn} — числовая последовательность в C и a C. Учитывая, что расстояние в C равно

dC(zn, a) = |zn − a|,

определение предела числовой (вообще говоря, комплексной) последовательности можно записать так:

zn C a ( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : |zn − a| < ε.

→

Аналогично дается определение предела действительной (вещественной) последовательности {xn} R:

xn R a ( ε > 0)( N N)( n N, n > N ) : xn a < ε.

→ | − |

7

З а м е ч а н и е. Предел действительной последовательности имеет интересное геометрическое толкование. Дело в том, что неравенство |xn − a| < ε равносильно неравенству

−ε < xn − a < ε, или a − ε < xn < a + ε,

которое означает, что при n > N , т.е. начиная с номера N + 1, все члены последовательности xn находятся в ε-окрестности ее предела a. Таким образом, какое сколь угодно малое число ε > 0 мы бы ни взяли, внутри ε-окрестности числа a находится бесконечное число членов последовательности

xN +1, xN +2, xN +3, . . . ,

а вне этой окрестности может находиться только конечное число членов этой последовательности (рис. 1.1)

x1, x2, x3, . . . , xN .

ε ε

Рис. 1.1. Геометрия предела последовательности

Прежде всего покажем, что арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями приводят к тем же операциям над их пределами, что значительно облегчает нахождение пределов этих последовательностей.

Теорема 1.4

Допустим, что {sn}, {tn} — комплексные последовательности и

Положим N = max{N1, N2}. При n > N имеем |(sn − s)(tn − t)| < ε,

т.е. lim (sn − s)(tn − t) = 0.

n→∞

Воспользуемся далее тождеством

sntn − st = (sn − s)(tn − t) + s(tn − t) + t(sn − s).

Применив 1 и 2 к этому тождеству, получим