MMATHAN05

Министерство образования и науки РФ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Национальный исследовательский университет

В.Н. Кошелев, Б.В. Лисин

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Учебное пособие

Рекомендовано ученым советом радиофизического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 010801 “Радиофизика и электроника”,

090106 “Информационная безопасность телекоммуникационных систем”.

Нижний Новгород Издательство Нижегородского госуниверситета

2011

УДК 517.1 ББК В22.161.1 К 76

Рецензенты:

В.Н. Белых — доктор физ.-мат. наук, профессор В.И. Сумин — доктор физ.-мат. наук, профессор

К 76 Кошелев В.Н., Лисин Б.В. Интегрирование функции одного переменного: Учебное пособие. — Нижний Новгород:

Издательство Нижегородского госуниверситета, 2011. — 202 с.

ISBN 978-5-85746-977-4

В основе настоящего пособия лежат лекции, читаемые студентам радиофизического факультета Нижегородского государственного университета. Первая глава посвящена изучению свойств неопределенного интеграла и технике интегрирования, которая иллюстрируется большим количеством примеров. Во второй главе излагается теория определенного интеграла — интеграла Римана. Она заканчивается кратким знакомством с интегралом Римана—Стильтьеса. Последующие главы — большая часть пособия — носят практический характер. Они разбиты на отдельные занятия, которые построены так, что позволяют студентам самостоятельно научится интегрированию и применению интегралов к решению конкретных задач.

Для студентов физических факультетов университетов.

Ответственный за выпуск:

председатель методической комиссии радиофизического факультета, доктор физ-мат наук, профессор В.Н. Мануилов

c Кошелев В.Н., Лисин Б.В. , 2011c Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2011

Оглавление

ГЛАВА 1. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла . . . . 5

1.2. Таблица неопределенных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Метод разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Введение нового аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.3. Метод подстановки (замена переменной) . . . . . . . . . 11 1.3.4. Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1. Разложение многочлена на простейшие множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.2. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.3. Интегрирование простейших дробей . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.4. Вывод рекуррентной формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6. Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . . 36 ГЛАВА 2. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.1. Задача о нахождении площади плоской фигуры . . . . . . . . . 41

1.2. Верхний и нижний интегралы Римана. Интеграл Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.3. Измельчение разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.4. Условие существования интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . 45

1.5. Теорема Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.6. Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.7. Интеграл Римана как предел интегральных сумм . . . . . . . . 50

1.8. Колебания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.9. Свойства интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.10. Свойства интеграла Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.11. Интеграл Римана как функция верхнего предела . . . . . . 60 1.12. Основная теорема интегрального исчисления . . . . . . . . . . . . 62

1.13. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.14. Теоремы о среднем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.15. Интеграл Римана—Стильтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 ГЛАВА 3. Практикум по теме интегрирование . . . . . . . . . . . . 77 Занятие 1. Интегрирование с помощью таблиц . . . . . . . . . . . . . . 77

Занятие 2. Интегрирование внесением функции под знак дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Занятие 3. Метод разложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Занятие 4. Замена переменной в неопределенном интеграле . 89 Занятие 5. Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Занятие 6. Интегрирование приведением квадратного трехчлена к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Занятие 7. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . 103 Занятие 8. Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . 110 Занятие 9. Метод Остроградского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Занятие 10. Интегрирование тригонометрических функций . . 128 Занятие 11. Интегрирование тригонометрических функций . . 134 Занятие 12. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Занятие 13. Замена переменной в определенном интеграле . . . 147

Занятие 14. Несобственные интегралы с бесконечными пределами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

ГЛАВА 4. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . 159 Занятие 1. Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . 159 Занятие 2. Вычисление длин плоских кривых . . . . . . . . . . . . . . 166 Занятие 3. Вычисление площадей поверхностей вращения . . 174 Занятие 4. Вычисление объемов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Занятие 5. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Глава 1

Неопределенный

интеграл

1.1.Понятие первообразной

инеопределенного интеграла

Определение 1.1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a, b), если на всем этом интервале f (x) является производной для функции F (x) или, что то же

Теорема 1.1

(Существование множества первообразных). Если для функции f (x)

на интервале (a, b) существует первообразная F (x), то совокупность всех первообразных этой функции представляет из себя множество

{F (x) + C : C R}

мощности континуум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Во-первых, любая функция этого множества является первообразной для f (x). Действительно, для всех

x (a, b)

(F (x) + C) = F (x) = f (x).

Во-вторых, если Φ(x) — любая первообразная для f (x), то она принадлежит этому множеству. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть разность Φ(x) − F (x), производная которой всюду на (a, b) равна

(Φ(x) − F (x)) = Φ (x) − F (x) = f (x) − f (x) = 0.

Откуда следует, что Φ(x) − F (x) ≡ C, и Φ(x) ≡ F (x) + C.

Определение 1.2. Множество всех первообразных функции f (x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f (x) (на этом интервале) и обозначается символом

f (x) dx.

Если F (x) — одна из первообразных для функции f (x), то в силу предыдущей теоремы

f (x) dx = F (x) + C.

Теорема 1.2

(Свойства неопределенного интеграла.) Если существуют неопределенные интегралы

то для них выполняются следующие свойства:

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

6

2.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции с произвольной постоянной:

dF (x) = F (x) + c.

3.Постоянный множитель у подынтегральной функции можно выносить за знак интеграла:

4.Интеграл от суммы двух (нескольких) функций равен сумме интегралов от этих функций:

Д о к а з а т е л ь с т в о

1.d f (x)dx = d(F (x) + c) = dF (x) = f (x)dx.

2.d(F (x) + c) = dF (x).

= f (x)dx + g(x)dx = [f (x) + g(x)]dx.

5.Для доказательства достаточно взять производную от правой части.

7