MMATAN01

1.9. Нормированное пространство

Определение 1.42. Линейное пространство X называется нормированным пространством, если в нем определена функция

x : X → R,

ставящая каждому элементу x X в соответствие действительное число x , называемое нормой элемента x, и норма удовлетворяет следующим аксиомам нормы

N1. x ≥ 0 и x = 0 x = θ.

N2. x + y ≤ x + y .

N3. αx = |α| x , α R.

П р и м е р ы

1) R — нормированное пространство. Если x R, то

x = |x| =

x, если x ≥ 0

−x, если x < 0.

Чтобы доказать это, достаточно проверить выполнение аксиом нормы:

N1. Очевидно, что |x| ≥ 0 и |x| = 0 x = 0.

N2. Сложив почленно два очевидных неравенства

−|x| ≤ x ≤ |x|,

−|y| ≤ y ≤ |y|,

получим

−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| |x + y| ≤ |x| + |y|.

N3. |αx| = |α||x| устанавливается так:

√ √

|αx| = (αx)2 = α2 x2 = |α||x|.

41

2) Совокупность ограниченных функций f : [a, b] → R c нормой, введенной по формуле

f (x) = sup |f (x)|,

x [a,b]

образует нормированное пространство. Проверим аксиомы нормы:

N1. Очевидно, что f (x) ≥ 0 и f (x) = 0 тогда и только тогда, когда f (x) ≡ 0.

N2. Вторая аксиома следует из неравенства

|f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)|.

N3. Третья аксиома следует из равенства

|αf (x)| = |α||f (x)|.

Количество примеров нормированных пространств позволяет расширить следующая теорема.

Теорема 1.8

Пространство со скалярным произведением будет нормированным пространством, если ввести в нем норму элемента x X по формуле

x = (x, x).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя аксиомы S1 − S4 скалярного произведения, проверим аксиомы нормы:

N1. x = (x, x) ≥ 0 — очевидно;

x = (x, x) = 0 (x, x) = 0 x = θ.

N2. Для доказательства второй аксиомы, x + y ≤ x + y , установим сначала неравенство Шварца, которое также называют неравенством Коши—Буняковского

|(x, y)| ≤ x · y .

42

Для любых действительных t имеем

(tx + y, tx + y) ≥ 0.

С другой стороны, получаем

(tx+ y, tx+ y) = t2(x, x)+ 2t(x, y)+ (y, y) = x 2t2 + 2(x, y)t+ y 2.

Квадратный (относительно t R) трехчлен

x 2t2 + 2(x, y)t + y 2 ≥ 0

для любых t. Это возможно, если его дискриминант

D = 4(x, y)2 − 4 x 2 y 2 ≤ 0.

Откуда

(x, y)2 ≤ x 2 y 2 (x, y)2 ≤ x · y |(x, y)| ≤ x · y .

Докажем теперь неравенство x + y ≤ x + y :

x + y 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) =

= x 2 + 2(x, y) + y 2 ≤ x 2 + 2|(x, y)| + y 2 ≤

≤ x 2 + 2 x · y + y 2 = ( x + y )2.

Из только что установленного неравенства x+y 2 ≤ ( x + y )2 получаем

x + y ≤ x + y .

N3. αx = (αx, αx) = α2(x, x) = |α| (x, x) = |α| · x .

Из этой теоремы в частности следует, что Rk — нормированное пространство, так как это пространство со скалярным произведением и норма в нем введена по формуле

x = (x, x).

43

1.10. Метрическое пространство

Определение 1.43. Пусть X — множество любой природы. Функцию

d : X × X → R,

которую будем обозначать d(x, y) или dX (x, y), будем называть метрикой в множестве X, если она удовлетворяет аксиомам метрики

M1. d(x, y) ≥ 0 и d(x, y) = 0 x = y.

M2. d(x, y) = d(y, x).

M3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Множество X с введенной в нем метрикой d называется метрическим пространством и обозначается

(X, d) или (X, dX ).

Теорема 1.9

Нормированное пространство X будет метрическим пространством, если в нем ввести метрику по формуле

d(x, y) = x − y .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы сводится к проверке аксиом метрики

M1. d(x, y) = x −y ≥ 0 и d(x, y) = x −y = 0 x −y = θ x = y.

M2. d(x, y) = x − y = (−1)(y − x) = |(−1)|y − x = d(y, x).

M3. d(x, y) = x − y = x − y + θ = x − y + z + (−z) = (x − z) + (z − y) ≤ x − z + z − y = d(x, z) + d(z, y).

П р и м е р ы

1) Из предыдущей теоремы следует, что множество действительных чисел R с метрикой

dR(x, y) = |x − y|

44

— метрическое пространство.

также метрическое пространство.

3) Множество непрерывных функций f : [a, b] → R с метрикой

d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|

x [a,b]

—метрическое пространство. Проверим аксиомы метрики:

M1. d(f, g) ≥ 0 — очевидно;

d(f, g) = 0 sup |f (x) − g(x)| = 0

x [a,b]

|f (x) − g(x)| ≡ 0 f (x) ≡ g(x).

M2. Так как |f (x) − g(x)| ≡ |g(x) − f (x)|, то

d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| = sup |g(x) − f (x)| = d(g, f ).

или, что то же самое,

d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g).

45

4) Множество натуральных чисел N с введенной в нем метрикой

dN = d(m, n) = |m − n| mn

— метрическое пространство. Установим это, проверив аксиомы метрики:

аэто означает, что d(m, n) ≤ d(m, k) + d(k, n).

За м е ч а н и е. В множестве X метрику можно ввести, вообще говоря, несколькими способами. При этом получим разные метриче-

ские пространства. Например, (N, dR) и (N, dN) — различные метрические пространства.

На рисунке 1.19 показаны связи, которые существуют или которые можно установить (введением нормы, метрики), между изучаемыми пространствами.

Заметим, наконец, что пространства Rk , и в частности R1 = R, одновременно являются линейными, евклидовыми, нормированными и метрическими пространствами.

46

λ

Рис. 1.19. Связь между пространствами

1.11. Основные понятия в метрическом пространстве

Для иллюстраций понятий, которые мы введем в этом пункте, используем плоскость (пространство R2).

Пусть (X, d) — метрическое пространство, т.е. множество X с введенной в нем метрикой d.

Определение 1.44. Элементы x X метрического пространства будем называть точками в метрическом пространстве, а число d(x, y) — р а с с т о я н и е м от точки x до точки y.

Определение 1.45. О к р е с т н о с т ь ю Or (q) точки q X радиуса r называют множество всех точек p X, таких, что

d(p, q) < r,

Or (q) = {p X : d(p, q) < r}.

47

;y

;y

Рис. 1.17. Примеры окрестностей

Определение 1.46. Пусть E — некоторое множество метрического пространства X. Точка q X называется п р е д е л ь н о й точкой множества E, если любая ее окрестность содержит хотя бы одну точку p E, такую,что p = q.

Предельная точка может как принадлежать множеству E, так и не принадлежать E.

Рис. 1.18. Предельные и изолированные точки

Определение 1.47. Если q E и q не является предельной для множества E, то q называется и з о л и р о в а н н о й точкой множества E.

Иными словами, точка q E X является изолированной точкой множества E, если можно указать окрестность точки q, в которой не содержится других точек из E.

48

Определение 1.48. Множество E метрического пространства X называется з а м к н у т ы м, если все его предельные точки принадлежат этому множеству.

Определение 1.49. Точка p называется в н у т р е н н е й точкой множества E, если она принадлежит множеству E вместе с некоторой окрестностью.

Определение 1.50. Множество E называется о т к р ы т ы м в X, если все его точки внутренние.

Рис. 1.19. Открытое множество

П р и м е р ы

1) Интервал (a, b) — открытое множество в R, но не является

4) Множество E = R — замкнутое и одновременно открытое в R.

Определение 1.51. Множество E метрического пространства X называется о г р а н и ч е н н ы м множеством, если

( M > 0)( q X)( p E) : d(p, q) ≤ M.

При этом точка q может принадлежать E, а может и не принадлежать этому множеству.

49

y;

Рис. 1.20. Ограниченное множество

Если X — нормированное пространство, то множество E из X ограниченно тогда и только тогда, когда

( M1 > 0)( q X)( p E) : p − q ≤ M1.

В силу аксиом нормированного пространства при фиксированном q

p = p − q + q ≤ p − q + q ≤ M1 + q = M.

Откуда приходим к обычно применяемому определению для нормированного пространства.

Определение 1.52. Множество E нормированного пространства называется ограниченным, если

( M > 0)( p E) : p ≤ M.

В частности, отсюда следует, что множество E R — ограничено, если

( M > 0)( x E) : |x| ≤ M.

В заключение этого пункта докажем следующую важную теорему (ответ на вопрос, поставленный в п. 1.4.4).

Теорема 1.10

Пусть E — замкнутое множество из R, ограниченное сверху (снизу). Пусть y = sup E (y = inf E). Тогда y E.

50