MMATAN01
.pdf2) |
|
−5 = 5(cos π + i sin π) = 5 eiπ = 5 e(2k+1)πi, |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
−√3 + i = 2 |
cos 56 |
|
|
|
+ i sin 6 |
|
= 2 e 6 |
|
|
= 2 e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
5π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π + 2kπ i |
|
|||||||||||||||||||||
4) |
|
2i = 2 |
cos 2 |
+ i sin 2 |
|
|
= 2 e |
2 |
|
|
= e |
2 |
|
|
|
|
|
|
i |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π i |
|
|
|
|
|
π + 2kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
5) |
|
|
|
|
2 − i |
|
2 = 2 |
cos |
|
|
− |
|
π |
|
+ i sin |
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 2 e− 4 |
|
= 2 e − 4 |
+ |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
kπ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6) 4 cos |
|
π− i |
|
|
|
3i |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
sin |
|
π |
|
= 4 |
cos |
|
|
|
|
|
π |
|
+ i sin |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
= 4 |
− |
3 i |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
= 4 e − 3 + |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Вычислить, используя показательную форму комплексного чис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 e 4 i |
|
|
|
|
= 25 e |
|
2 i = 32 e 2 + 2π i |
|
= 32 e 2 i |
= 32i. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. (1 + i)10 = |
|
10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. (√ |
|
+ i)6 + (√ |
|
|
− i)6 = 2 e 6 i |
|
|
+ 2 e− 6 i |
|
|
= 26( eπi + e−πi) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 26(−1 + (−1)) = −27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
10. ((1 + i√ |
3)(1 − i))20 = 2 e π3 i · √ |
|
e−π4 i 20 |
= 2√ |
|
e |
π |
i 20 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 230 e 3 |
|
|
|
= 230 |
|
cos |
|
|
|
+ i sin |
|
|
|
|
= 230 |
# |
|
− i |
|
|
|
$ = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 2 |
|
|
(1 − i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
e 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 210 e |
3 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
+ i√ |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7π i |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
35π i |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 12π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 e− |
|
|
|
|
|
|
= 210 |
|
cos 3 − i sin 3 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 210 e − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 210 e− 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 210 |
#2 |
|
|
|
|
|
√ |
|
$ = 29(1 − i√3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− i 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить все значения корней:
12.Для вычисления первых двух корней используем показательную с периодом форму комплексного числа.
√
1) 4 1 =? Представим подкоренное выражение в показательной форме с периодом: 1 = e2kπi. Тогда все значения корней вычисляются по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2kπi |
|
|
|
|
|
kπi |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = e |
|
|
= e |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
где k = 0, 1, 2, 3. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z0 = e0 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 = e 2 i |
= cos |
+ i sin |
|
= i, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 = eπi = cos π + i sin π = −1, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 = e 2 |
= cos |
|
|
+ i sin |
|
|
|
= −i. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
2 − 2i =? Как и в предыдущем случае, получаем |
|
|
− 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 − 2i = √4 + 4 |
cos |
− 4 |
|
|
|
|
+ i sin − 4 |
|
|
|
= 2√2 e |
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2kπ |
π |
|
i |
||||||||||||||
|
|
|
|
zk = √3 |
|
|
= √ |
|
|
|
e 2kπ3 − |
π |
i , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
k = 0, 1, 2. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 − 2i |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вычисляем значения корней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
√ |
|
|
− |
π |
i √ |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z0 = |
2 e |
|
2π |
|
π |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7π |
|
7π |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
= |
|
2 |
cos |
12 |
|
− i sin 12 |
, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z1 = √2 e |
|
− 12 |
|
= √2 e 12 |
= |
√2 |
|
|
|
cos 12 + i sin 12 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z2 = √2 e |
3 |
|
− 12 |
|
i |
= |
√2 e |
4 |
|
|
= √2 |
|
|
|
cos |
4 + i sin |
4 |
= −1 − i. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π i |
|
|
|
|
|
|
|
|
5π |
|
5π |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122
√
3) 3 + 4i =? Будем искать значения этих корней в виде x + iy, где x и y подлежат определению.
√
3 + 4i = x + iy, 3 + 4i = x2 − y2 + 2xyi,
|
|
|
x2 − y2 = 3, |
x = ±2, |
|
√ |
|
xy = 2, |
y = ±1. |
Ответ: |
|
= ±(2 + i). |
|
|
|
3 + 4i |
|
13. Найти действительную и мнимую части:
1). (1 + 2i)2 = −3 + 4i, Re (1 + 2i)2 = −3, Im (1 + 2i)2 = 4. 2). eiϕ(3 + 5i) = (cos ϕ + i sin ϕ)(3 + 5i) =
= 3 cos ϕ − 5 sin ϕ + i(5 cos ϕ + 3 sin ϕ), Re ( eiϕ(3 + 5i)) = 3 cos ϕ − 5 sin ϕ,
Im ( eiϕ(3 + 5i)) = 5 cos ϕ + 3 sin ϕ.
Задачи для самостоятельного решения
Выполнить действия:
1. |
(3 + 4i) + (−5 + 3i). |
||||||
|
√ |
|
√ |
|
√ |
|
|
3. |
( |
3 |
− i)( |
2 |
+ i |
3). |
√
−2 + i
5.√ .
1 + 3i 2
2. (2 + 4i) − (5 + i).
4. (2 + 3i)(4 − 5i) + (2 − 3i)(4 + 5i).
6. 3 + i .
(2 + i)3
Представить в тригонометрической, показательной и показательной с периодом формах:
7. |
1. |
8. |
i. |
9. |
−1. |
10. |
−i. |
11. |
1 + i. |
12. |
1 − i. |
13. |
−1 + i. |
14. |
−1 − i. |
123
Вычислить, используя показательную форму комплексного чис-
ла:
15. (1 − i) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. (−1 + i |
|
|
|
3) + (−1 − i 3) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
17. ((2 + 2i)( |
|
3 + i)) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
√3 + i |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2i |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Найти все значения корней: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
19. |
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
−8. |
|
|
21. |
|
−2 + 2i. |
|
|
|
|
|
22. |
1 − i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||
1. −2 + 7i. 2. −2 + 5i. 3. 6 + 3 + (3 − |
|
|
|
|
2)i. |
4. |
|
46. 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
19 |
|
|
19 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
125 − |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6. |
17 |
|
|
|
|
31 |
|
i. 7. |
|
2kπi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 + 2kπ |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(π+2kπ)i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π2 |
+ 2kπ |
i |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
125 |
|
e |
|
|
|
i |
|
. |
8. e |
|
|
|
|
|
. 9. e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 10. |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
e |
|
|
|
3π |
+ 2kπ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
√ |
2 |
|
|
|
4 + |
|
2kπ i |
|
12. |
√ |
2 e |
|
− 4 + 2kπ i |
. |
|
13. |
√ |
2 e |
|
4 + 2kπ i |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
√2 e − |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
√15. −32i. |
16. −32√. |
|
|
|
17.√ |
2 |
|
|
√(√3 |
√+ i). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
18. |
16(− 3+i). |
19. ± |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
i, −i. |
|
20. |
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
i, |
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
i, ±i |
2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 + i, |
|
|
|
|
2 |
|
(− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
2 + |
|
|
|
|
3 + i |
|
|
2 − |
|
3), |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
3 − i |
|
|
|
2 + |
|
3). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
22. |
± |
|
|
|
|
|
|
|
2 − 1 − i |
|
|
2 − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
124
Кошелев Виктор Николаевич Лисин Борис Всеволодович
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Учебное пособие
Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 7,2. Уч.-изд. 6,4.
Заказ N◦ . Тираж 200 экз.
Издательство Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23
Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37