MMATAN01

2)

−5 = 5(cos π + i sin π) = 5 eiπ = 5 e(2k+1)πi,

6

,

3)

−√3 + i = 2

cos 56

+ i sin 6

= 2 e 6

= 2 e

π

5π

5π i

5π + 2kπ i

4)

2i = 2

cos 2

+ i sin 2

= 2 e

2

= e

2

i

,

π

π

π i

π + 2kπ

√

√

2

π

i

5)

2 − i

2 = 2

cos

−

π

+ i sin

−

=

4

4

π

= 2 e− 4

= 2 e − 4

+

,

π

π

kπ

i

6) 4 cos

π− i

3i

−

− 3

3

2kπ

3

e

=

π

sin

π

= 4

cos

π

+ i sin

π

= 4

−

3 i

= 4 e − 3 +

.

Вычислить, используя показательную форму комплексного чис-

ла:

√2 e 4 i

= 25 e

2 i = 32 e 2 + 2π i

= 32 e 2 i

= 32i.

8. (1 + i)10 =

10

π

5π

π

π

π

6

π

6

9. (√

+ i)6 + (√

− i)6 = 2 e 6 i

+ 2 e− 6 i

= 26( eπi + e−πi) =

3

3

= 26(−1 + (−1)) = −27.

10. ((1 + i√

3)(1 − i))20 = 2 e π3 i · √

e−π4 i 20

= 2√

e

π

i 20

12

=

2

2

= 230 e 3

= 230

cos

+ i sin

= 230

#

− i

$ =

3

3

2

2

29

√

√

5π i

5π

5π

1

3

= 2

(1 − i

3).

π

20

1

e

√

e 12

11.

3

=

=

= 210 e

3

=

2

1

i

π i

#

$

#

$

+ i√

20

2

3 i

i

7π i

20

π

35π i

+ 12π i

π

−

2 e−

= 210

cos 3 − i sin 3

=

= 210 e − 3

= 210 e− 3

π

π

= 210

#2

√

$ = 29(1 − i√3).

− i 2

1

3

121

√4

2kπi

kπi

4

2

1 = e

= e

,

zk =

где k = 0, 1, 2, 3. Имеем

z0 = e0 = 1,

π

π

π

z1 = e 2 i

= cos

+ i sin

= i,

2

2

z2 = eπi = cos π + i sin π = −1,

3π i

3π

3π

z3 = e 2

= cos

+ i sin

= −i.

2

2

√3

2)

2 − 2i =? Как и в предыдущем случае, получаем

− 4

2 − 2i = √4 + 4

cos

− 4

+ i sin − 4

= 2√2 e

,

π

π

2kπ

π

i

zk = √3

= √

e 2kπ3 −

π

i ,

12

k = 0, 1, 2.

2 − 2i

2

Вычисляем значения корней

√

−

π

i √

π

π

12

z0 =

2 e

2π

π

i

7π

7π

7π i

3

=

2

cos

12

− i sin 12

,

,

z1 = √2 e

− 12

= √2 e 12

=

√2

cos 12 + i sin 12

z2 = √2 e

3

− 12

i

=

√2 e

4

= √2

cos

4 + i sin

4

= −1 − i.

4π

π

5π i

5π

5π

15. (1 − i) .

16. (−1 + i

3) + (−1 − i 3) .

10

√

5

√

5

17. ((2 + 2i)(

3 + i)) .

18.

√3 + i

.

√

10

2 + 2i

10

Найти все значения корней:

√3

√6

√3

√

19.

i.

20.

−8.

21.

−2 + 2i.

22.

1 − i.

Ответы

√

7

√

√

√

5

2

+

1. −2 + 7i. 2. −2 + 5i. 3. 6 + 3 + (3 −

2)i.

4.

46. 5.

i.

19

19

125 −

π