MMATAN04

2. a) Для функции y = x+ln x (x > 0) существует обратная функция x = x(y), так как производная прямой функции всегда положитель-

Область существования (определения) обратной функции совпадает с областью изменения прямой функции. В нашем случае обратная функция x = x(y) определена при −∞ < y < +∞. Ее производная

б) Для функции y = sh x существует обратная функция x = x(y),

3. У дифференцируемой функции y = y(x) однозначные непрерывные ветви обратных функций x = x(y) существуют только на участках монотонности прямой функции y = y(x). Поэтому ищем участки знакопостоянства производной для y = 2x2 − x4

y = 4x − 4x3 = −4(x + 1)x(x − 1).

Легко видеть, что y > 0 на интервалах (−∞, −1) и (0, 1); y < 0 на интервалах (−1, 0) и (1, +∞). Таким образом, функция y = 2x2 − x4 имеет четыре однозначные непрерывные ветви обратных функций. Чтобы легче найти эти ветви, построим график прямой функции (рис. 3.1).

Решая уравнение

y = 2x2 − x4

относительно x, получаем

x4 − 2x2 − y = 0, x2 = 1 ± 1 − y,

x = ± 1 + 1 − y, x = ± 1 − 1 − y.

81

y

1

1 0 1 x

Рис. 3.1. График функции y = 2x2 − x4

После этого нетрудно выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций x = x(y), соответствующие участкам монотонности прямой функции (на графике слева направо).

4. Если функция y = y(x) задана параметрически посредством параметра t

x = x(t), y = y(t),

то производная yx может быть найдена по формуле

yx = yt

xt

82

8. Дифференцируя обе части уравнения

√ √ √

x + y = a

83

по x в предположении, что y = y(x), получаем

y1

10.Дифференцируем уравнение arctg x = 2 ln(x2 + y2)

Задачи для самостоятельной работы

5.1.Показать, что существует однозначная функция y = y(x), определяемая уравнением

x = y − ε sin y (0 ≤ ε < 1),

и найти производную yx.

5.2.Найти область существования обратной функции x = x(y) и найти ее производную, если

y= x + ex.

5.3.Выделить однозначные непрерывные ветви обратной функции x = x(y), найти их производные, если

x2

y = 1 + x2 .

Построить график.

Найти производные yx от функций, заданных параметрически:

Найти производные yx от следующих функций, заданных в неяв-

5.9. sin(xy) + cos(xy) = tg (x + y). 5.10. x − y = arcsin x − arcsin y.

5.11. Найти yx, если

где r =

85

Ответы

Занятие 6. Дифференциал

Напомним определение дифференциала. Пусть функция

f : (a, b) → R

дифференцируема в точке x0 (a, b). Тогда ее приращение в этой точке представимо в виде

f (x0) = A · x + α(Δx) · x,

A — постоянное число, α(Δx) — бесконечно малая при x → 0. Выражение A · x называется дифференциалом функции f (x) в

точке x0 и обозначается

df (x0) = A · x.

В частности из этого определения следует, что если x — независимая переменная, то x = dx. Формула для вычисления дифференциала имеет вид

d f (x) = f (x) dx.

86

Решения

1. Приращение функции f (x) в точке x0 вычисляется по формуле

f (x0) = f (x) − f (x0).

Если ввести приращение аргумента x = x − x0, то x = x0 + x и приращение функции равно

f (x0) = f (x0 + x) − f (x0).

Для функции f (x) = x3 − 2x + 1 имеем

f (1) = f (1 + x) − f (1) = (1 + x)3 − 2(1 + x) + 1 − (1 − 2 + 1)

или после несложных преобразований

f (1) = x + 3(Δx)2 + (Δx)3.

Вычисляем дифференциал функции в точке x = 1

Теперь вычисляем значения приращения функции f (x) и ее диф-

Сравнения показывают, что чем меньше по абсолютной величине приращение аргумента, тем менее отличаются друг от друга значения приращения функции и дифференциала.