MMATAN04

1x

Рис. 3.16. Знаки функции y

II. Поведение функции на границе области определения:

Асимптоты: x = −1 — вертикальная асимптота. Найдем наклонные асимптоты y = kx + b :

y = x − 3 — наклонная асимптота.

III. Исследование с помощью первой производной. При вычислении производной y применим логарифмическое дифференцирование:

ln |y| = 2 ln |x| + ln |x − 1| − 2 ln |x + 1|,

141

Знаки первой производной указаны на рис. 3.17.

22

Рис. 3.17. Знаки производной y

IV. Исследование с помощью второй производной

Вторую производную удобно считать как производную от произведения трех функций

y = x(x + 1)−3(x2 + 3x − 2),

y = (x + 1)−3(x2 + 3x − 2) − 3x(x + 1)−4(x2 + 3x − 2)+ +x(x + 1)−3(2x + 3) =

1

= (x + 1)4 [(x + 1)(x2 + 3x − 2) − 3x(x2 + 3x − 2)+

+x(x + 1)(2x + 3)] = 10x − 2 . (x + 1)4

Рис. 3.18. Знаки производной y

143

Знаки второй производной указаны на рис. 3.18. График функции

перегиба. График исследуемой функции изображен на рис. 3.19.

Задачи для самостоятельной работы

Ответы:

13.1. Функция общего вида. О.О.Ф: (−∞, −1) '(−1, +∞); y > 0

при x > −1, y < 0 при x < −1; y(−∞) = −∞, y(+∞) = +∞, y(−1−0) = −∞, y(−1+0) = +∞; x = −1 — вертикальная асимптота, y = x−1 — наклонная асимптота; возрастает на интервалах (−∞, −4)

и(2, +∞), убывает на интервалах (−4, −1) и (−1, 2); ymax = y(−4) =

=−8, ymin = y(2) = 4; график выпуклый вверх на интервале

(−∞, −1) и выпуклый вниз на интервале (−1, +∞).

13.2. Функция общего вида. О.О.Ф: (−∞, −2) '(−2, 0) '(0 + ∞);

y> 0 при x < −2 и x > 0; y < 0 при −2 < x < 0; y(−∞) = 1, y(−2 − 0) = +∞, y(−2 + 0) = −∞, y(+∞) = 1; x = −2 и x = 0 —

вертикальные асимптоты, y = 1 — горизонтальная асимптота; воз-

растает на интервалах (−∞, −2), (−2, −1), убывает на интервалах (−1, 0), (0, +∞); ymax = y(−1) = 0; график выпуклый вверх на ин-

тервале (−2, 0), выпуклый вниз на интервалах (−∞, −2), (0, +∞).

(−1, 3); y(−∞) = −∞, y(+∞) = +∞, y(−4 − 0) = −∞, y(−4 + 0) = = +∞; x = −4 — вертикальная асимптота, y = x − 6 — наклон-

ная асимптота; возрастает на интервалах (−∞, −4 − √21), (−4 +

+√21, +∞), убывает на интервалах (−4 − √21, −4), (−4, −4 + √21); ymax = y(−4 −√21) = −10 −2√21, ymin = y(−4 + √21) = −10 + 2√21;

график выпуклый вверх на интервале (−∞, −4) и выпуклый вниз на интервале (−4, +∞).

Занятие 14. Исследование иррациональных функций

Задание

Исследовать функцию и построить график.

Решения

1. Исследование функции y = ±√8x2 − x4.

I. Ищем область определения X функции:

8x2 − x4 ≥ 0, −x2(x − 2√2)(x + 2√2) ≥ 0, −2√2 ≤ x ≤ 2√2, X = [−2√2, 2√2].

Функция четная. График симметричен относительно осей 0x и 0y. M1(−2√2, 0), M2(0, 0), M3(2√2, 0) — точки пересечения с осями.

Дальнейшее исследование проведем для функции y = √8x2 − x4.

II. Поведение функции на границе области определения: y(−2√2) = 0,

y(+2√2) = 0.

146

Асимптот нет.

III. Исследование с помощью первой производной

y = 0 при x = ±2; y не существует при x = 0 и x = ±2√2. M (0, 0)

— угловая точка. Знаки первой производной указаны на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Знаки производной y

Функция возрастает на интервалах (−2√2, −2) и (0, 2), убывает на интервалах (−2, 0) и (2, 2√2).

ymax = y(−2) = 4, ymax = y(2) = 4, ymin = y(0) = 0.

IV. Исследование с помощью второй производной

Легко видеть, что вторая производная отрицательна на интервалах (−2√2, 0) и (0, 2√2). График функции y = √8x2 − x4 выпуклый

вверх на этих интервалах.

График функции y = ±√8x2 − x4 изображен на рис. 3.21.

147

y

x

2. Исследование функции y = ± (x − 1)(x − 2)(x − 3). I. Ищем область определения X функции:

(x − 1)(x − 2)(x − 3) ≥ 0.

Решая это неравенство, получаем x ≥ 3, 1 ≤ x ≤ 2,

X = [1, 2] [3, +∞).

Функция общего вида. График функции симметричен относительно оси 0x.

II. Поведение функции на границе области определения: y(1) = y(2) = y(3) = 0, y(+∞) = +∞.

148

Асимптот нет.

Дальнейшее исследование проводим для функции

y= (x − 1)(x − 2)(x − 3).

III.Исследование с помощью первой производной

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

Имеем y (1) = y (2) = y (3) = ∞. Откуда следует, что касательные к графику функции в точках x = 1, x = 2 и x = 3 параллельны

33

6 − √3 6 − √3

вает на интервале , 2 . Точка x = — точка макси-

3 3

мума.

149