MMATAN04

−9 + 2√

Если t =

3

, то

3

−9 + 2√

−9 + 2√

x2

−

4x =

3

, x2

−

4x

−

3

= 0,

3

3

± 4 +

+ 2√

1

x1,2 = 2

−9

3

= 2 ±

9 + 6√3.

3

3

−9 − 2√

При t =

3

исходное уравнение имеет комплексные корни.

3

y

+

x

2

1

1

2

3

2+

1

9+6

9+6

3

3

3

3

ции y =

(x − 1)(x − 2)(x − 3)

выпуклый вниз (y > 0) на интерва-

2 +

√

ле

1

1

1

3

9 + 6

3, +∞ , выпуклый вверх (y < 0) на интервалах

(1, 2) и 3, 2 +

9 + 6√

, при x = 2 +

9 + 6√

имеет точку

3

3

3

3

перегиба. График исследуемой функции изображен

на рис. 3.24.

x3 − x2 − x + 1

= x2(x − 1) − (x − 1) = (x

− 1)(x2 − 1) = (x − 1)2(x + 1),

(x − 1)2(x + 1) = 0, x = 1, x = −1,

M2(−1, 0), M3(1, 0).

На рис 3.25

показаны интервалы знакопостоянства функции.

y

+

+

x

1

1

II. Поведение функции на границе области определения:

y(+∞) = +∞,

y(−∞) = −∞.

Вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты

y

3

1

1

1

x→±∞

= x→±∞ 1 −

−

+

= 1,

x

x

x2

x3

k =

lim

lim

3

b = lim

− kx)

=

lim

(

x3

−

x2

−

x + 1

−

x) =

x→±∞(y

3

x→±∞

3

3

=

lim

( √x3 − x2 − x + 1)

− x

=

3

→±∞

(x

− x − x + 1)x2

x2

−

x + 1 + x2

x

x + 1−

3

3

2

2 + x √x3

=

lim

−

−

3

=

x

→±∞

(x

− x − x + 1)

1

−

x2

−

x + 1 + x2

1

3

3

2

2 + x √x3

−1 −

+

1

= x lim

x

x2

= −

.

3

2

1 − x

− x2

+ x3

+ 3 1 − x

− x2

+ x3 + 1

→±∞

1

1

1

1

1

1

3

1

Таким образом, y = x −

— наклонная асимптота.

3

III. Исследование с помощью первой производной

y =

1

3x2 − 2x − 1

.

2

3 (x3 − x2 − x + 1) 3

Найдем критические точки функции:

1

3x2 − 2x − 1 = 0, x1 = 1, x2 = −

.

3

В точке x =

1

производная y

= 0. В точке x = 1 производная

−

3

y =

1

(3x + 1)(x − 1)

=

1

3x + 1

.

2

1

2

3

3

[(x − 1)2(x + 1)] 3

(x − 1) 3

(x + 1) 3

y

+

+

+

x

1

1

1

3

Рис. 3.26. Знаки производной y

Функция возрастает на интервалах −∞, −

1

и

(1, +∞), убыва-

3

ет на интервале −

1

, 1 , x =

1

— точка максимума,

−

3

3

√4.

ymax = y

−3

=

−27 −

9 +

3 + 1 =

27

= 3

1

3

1

1

1

3

32

2

3

IV. Исследование с помощью второй производной

y =

2

(3x2 − 2x − 1)2

+

1

6x − 2

=

−9

5

3

2

(x3 − x2 − x + 1) 3

(x3 − x2 − x + 1) 3

=

−

2 (3x + 1)2(x − 1)2 − (9x − 3)(x − 1)2(x + 1) =

9

(x3 − x2 − x

5

+ 1) 3

=

−

2 (x − 1)2((3x + 1)2 − (9x − 3)(x + 1)) =

9

(x3 − x2 − x

5

+ 1) 3

=

−

2

(x − 1)2(9x2 + 6x + 1 − 9x2 − 6x + 3)

=

8

1

.

9

−9

4

5

[(x −

5

1)2(x + 1)] 3

(x − 1) 3 (x + 1) 3

154

График функции выпуклый вверх (y < 0) на интервале (−∞, −1),

выпуклый вниз (y > 0) на интервале (−1, +∞), x = −1 — точка

перегиба.

График функции изображен на рис. 3.27.

y

x

3

Рис. 3.27. График функции y = √x3 − x2 − x + 1

14.1. y = ±

x(x2 − 1)

.

14.2. y =

x2(x + 3)

.

1

√

3

2

14.3. y = 1 +

.

14.4. y =

3

x

+ x .

x

Ответы

14.1. Функция

общего

вида.

О.О.Ф: [−1, 0] [1, +∞). График

1

− ,

∞

∞;

=

1

симметричен относительно оси

0x. Для

y

' x(x2

− 1) имеем:

y(0) = y(1) =

y( 1)

y(+

)

= +

возрастает

на интерва-

лах

−1, −√

и (1, +∞),

убывает на

интервале

−√

, 0 ;

3

3

1

2

ymax

=

y −√

=

3√

; график выпуклый вверх на интер-

3

3

2

валах (−1, 0) и

1, 1 +

√3 , выпуклый

вниз на интервале

3

1 + 3

√3, +∞ , x = 1 + 3

√3 — точка перегиба.

2

2

1

y =

x +

—

наклонная асимптота;

возрастает на

интерва-

3

2

−∞, −

2

, 0 ;

лах

и

(0, +∞), убывает

на

интервале

−

3

3

2

1

3

ymax

= y −

=

√4, ymin = y(0)

=

0, M (0, 0) — угловая

3

3

Производная равна нулю (y = 0), если

2 cos x + 1 = 0, cos x = −

1

,

2

1

2π

x = ± arccos −

+ 2kπ,

x ±

+ 2kπ.

2

3

1

2π

3

1

1

+

1

2

+

2π

3

1