Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MMATAN04

.pdf

Скачиваний:

112

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1			1
=		−x2 + (1 + x4)2	− x4(1 + x4) =		.
	x(1 + x4)2			x(1 + x4)2

Задачи для самостоятельной работы

Найти первую производную следующих функций:

1 + x3

3.1.y = 3 1 − x3 .

3.3. y = sin(cos2 x) · cos(sin2 x).

3.5. y =	cos x	.

	2 sin2 x

√

3.2. y = x + x + x.

3.4. y = sin(sin(sin x)).

sin x − x cos x 3.6. y = cos x + x sin x .

3.7. y = tg x − 13 tg 3x + 15 tg 5x. 3.8. y = sec2 xa + cosec 2 xa .

3.9.y = e− cos2 x2 .

3.11.y = ex 1 + ctg 2 .

3.13. y = lg3 x2.

3.15. y = 1 ln x2 − 1 .

4 x2 + 1

3.17. y = x ln(x + √1 + x2) −

3.10. y = 2 tg 35x.

3.12. y = eax a sin bx − b cos bx . a2 + b2

3.14. y = ln(ln2(ln3 x)).

3.16. y = ln 1 + sin x . 1 − sin x

√1 + x2.

Ответы


	2x2	3	1	+ x3
3.1.					.
3.1.	1 − x6		1	− x3	.

3.3. − sin 2x cos(cos 2x).

1 + 2√

+ 4

x + √

3.2.

√

x +

x + √x

8√x x + √x

3.4.

x) cos(sin(sin x))

cos x cos(sin

3.5.

1 + cos2 x

3.6.

3.7.

1 + tg 6x.

−

2 sin2 x

(cos x + x sin x)2

−16 cos

) · e−

cos2 x2

15 ln 2

· 2

35x

3.8.

3.9. 2x · sin(2x

3.10.

3 2x

a sin

sin2 5x

ex(sin x − cos x)

. 3.11.

3.12. e

ax sin bx

lg2 x2

×cos4 5x

2 x

. 3.13. x ln 10

2 sin

√

. 3.17. ln(x +

3.14.

. 3.15.

. 3.16.

+ 1).

x ln x ln(ln3 x)

x4 − 1

cos x

Занятие 4. Дифференцирование явной функции

Задание

Найти первую производную следующих функций:

					x												2
1.	y = arcsin					.						2.		y = arctg		x		.
					2											x
					2
																	a
3.	y = arcsin(sin x).											4.		y =	1				.
3.	y = arcsin(sin x).
															arccos2(x2)
5.	y = x arcsin									+ arctg √x − √x.
5.	y = x arcsin						1 + x			+ arctg √x − √x.
								x
								x

6.	y =	1	ln	(x + 1)2					+ 1				2x − 1
	y =	6	ln	x2 − x + 1					+ 1
		6		x2 − x + 1							√3 arctg √3 .
							1					8.		y = arctg (th x).
7.	y = ln( ch x) +										.	8.		y = arctg (th x).
7.	y = ln( ch x) +							2 ch 2x			.
9.	y = (ln x)x : xln x.											10.			x			xx
												10.		y = x + x			+ x .
		1										√1 + x4 + 1
				4								4
				4
11.	y =		arctg ( √1 + x4) + ln												.

		2										√1 + x4 − 1
												4
72

12.	y =	e−x2			arcsin( e−x2 )		+	1	ln(1 − e−2x	2	).
			√
								2
					1 − e−	2x2		2
					1 − e−						2
			1	− arcsin x							2		3 − x
13.	y =		1	− arcsin x					14. y =		x	3	3 − x	.
	y =		1	+ arcsin x .					14. y =		1 − x	3	(3 + x)2	.
			1	+ arcsin x .							1 − x		(3 + x)2

Решения

y = arcsin

√

1 −

−

y = arctg

y =

2ax

1 +

x4 + a2

y = arcsin(sin x),

y =

cos x =

cos x

sign

(cos x),

cos x = 0.

y =

11− sin2 x

| cos x|

arccos2(x2)

y =

−2

2x =

arccos3(x2)

−√1 − x4

√1 − x4 arccos3(x2)

y = x arcsin

1 + x

+ arctg √x − √x,

x ·

· (1 + x)2

1 + x

y = arcsin

1 + x − x

1 −

1 + x

− 1

2√

1 + x

√

= arcsin

−

= arcsin

1 + x

2(1 + x)

1 + x

y =

(x + 1)2

2x − 1

x2 − x + 1

√3 arctg

√3

2x − 1

= 1 (2 ln x + 1

ln(x2

x + 1)) +

| −

−

√

arctg

√

y =

2x − 1

6 x + 1

− x2 − x + 1

√3 · 1 + (2x − 1)2

· √3

2x2 − 2x + 2 − 2x2 − 2x + x + 1

3 + 4x2 − 4x + 1

(x + 1)(x2 − x + 1)

3 − 3x

1 − x + 1 + x

2(x2 − x + 1)

2 ·

x3 + 1

· x3 + 1

x3 + 1

y = ln( ch x) +

2 ch 2x

y =

x =

( ch 2x − 1) sh x

sh 3x

= th3 x.

− ch 3x sh

ch 3x

ch x

ch 3x

y = arctg (th x),

y =

1 + th2 x

ch 2x

ch 2x + sh 2x

ch 2x

y = (ln x)x : xln x = ex ln(ln x)−ln2 x,

2 ln x

y = ex ln(ln x)−ln x ln(ln x) +

−

ln x

=(ln x)x−1 (x − 2 ln2 x + x ln x ln(ln x)).

xln x+1

10. y = x + xx + xx ,

Найдем производную каждого слагаемого. Имеем

xx = ex ln x,

(xx ) = ex ln x(ln x + 1) = xx(1 + ln x),

xxln x

= e

xxln x

= e

(xx ) ln x +

xx(1 + ln x) ln x +

= x

= x xx−1(x(1 + ln x) + 1).

Окончательно получаем

y = 1 + xx (1 + ln x) + x xx−1(x(1 + ln x) + 1).

√1 + x4 + 1

11. y =

arctg ( √1 + x4) + ln

√1 + x4 − 1

Замечаем,

что в

задании

этой

функции выражение

√1 + x4

встречается несколько раз. Поэтому для облегчения вычисления

√

производной введем промежуточное переменное u = 4 1 + x4:

y= 1 arctg u + 1 (ln u + 1 ) = 2 4 u − 1

=12 arctg u + 14 (ln |u + 1| − ln |u − 1|).

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем

y =

−

· u =

2(1 + u2)

u + 1

u − 1

· u =

2(1 + u2)

2(1 − u2)

1 − u4

где

u = 4 1 + x4 =

4 4 (1 + x4)3

· 4x3 =

4 (1 + x4)3 .

Окончательно,

y =

= −

1 − (1 + x4)

x 4

(1 + x4)3

e−x2 arcsin( e−x2 )

12. y =

√

ln(1 − e−2x

1 − e−

2x2

Как и в предыдущем примере вводим промежуточное переменное

u = e−x2 . Тогда

y =

u arcsin(u)

ln(1 − u2),

√

1 − u

y = arcsin u

√

1 − u2

−

1 − u2

− 1 − u2

arcsin u

(1 − u2) 2

= y

u =

arcsin e−x2

2x e−x2 .

−

(1 − e−2x2 ) 2

13.

y =

1 − arcsin x

1 + arcsin x

При решении этого задания используется так называемая логарифмическая производная (логарифмическое дифференцирование)

— производная от логарифма функции y(x), что значительно облегчает нахождение производной. Вспоминая свойства логарифмической функции, можно записать

ln |y| = 12 (ln |1 − arcsin x| − ln |1 + arcsin x|).

Дифференцируя обе части последнего равенства по x, получаем

−

√

1 − arcsin x

1 + arcsin x

1 − x2

= −√

(1 − arcsin2 x) .

Откуда следует

1 − x2

− arcsin x

−√

(1 − arcsin2 x)

+ arcsin x

1 − x2

14.

y =

3 − x

1 − x

(3 + x)2 .

Решение аналогично предыдущему примеру

ln |y| = 2 ln

|x| − ln |1 − x| +

ln |3 − x| −

ln |3 + x|,

−

1 − x

3(3 − x)

3(3 + x)

2(1 − x) + x

3 + x + 2(3 − x)

2 − x

9 − x

−

x(1 − x) −

3(9 − x2)

x(1 − x)

3(9 − x2)

= (2 − x)(27 − 3x2) + (x − 9)(x − x2)

3x(1 − x)(9 − x2)

= 54 − 27x − 6x2 + 3x3 + x2 − 9x − x3 + 9x2

3x(1 − x)(9 − x2)

54 − 36x + 4x2 + 2x3

3x(1 − x)(9 − x2)

· 1 − x

(3 + x)2

y =

− 36x + 4x2 + 2x3

3 − x

Задачи для самостоятельной работы

4.1.	y = ln tg				x	+		π	.

					2			4
4.3.	y =	1	ln	1		−			1	.

		4x4		x			16x4

4.5. y = ln tg x2 − cos x · ln tg x.

4.7. y = arccos(cos2 x).
4.9.	y = arctg	sin x + cos x	.

		sin x − cos x

4.2. y = ln 1 − sin x . 1 + sin x

4.4. y = ln x1 + ln x1 + ln

1 − x 4.6. y = arcsin √2 .

4.8. y = arccos √1 − x2.

4.10. y = arcsin

1 − x2

1 + x2

4.11. y = arctg x +

arctg (x3).

4.12.

y = ln arccos

√

x √

4.13. y =

− x

arcsin

4.14.

y =

arcsin x

1 − x

1 + x .

√1 − x2

4.15. y = (sin x)cos x + (cos x)sin x.

4.16. y =

ch x

− ln

4.17.

sh 2x

cth 2 .

y = arccos ch x

4.18. y = (arccos x)2

ln2(arccos x) − ln(arccos x) +

4.19.

y =

1 − a2x

a−x

1 + a2x −

1 + a2x arctg

y = x

1 − x

4.21.

y =

(x + 1)3 √x − 2

4.20.

1 + x .

5 (x

−

3)2 .

Ответы

			1											1									1			ln x.
4.1.						.					4.2. −								.		4.3.
4.1.		cos x				.					4.2. −					cos x			.		4.3.				x5
										1										1 +	1		1					.
4.4.	−																				x +		+ ln
4.4.	−							1				1		1							x +	x	+ ln				x
			1 + x ln							1 + x ln					+ ln
			1 + x ln						x	1 + x ln			x		+ ln			x
4.5.	sin x						ln	x		4.6.				1						4.7.	2sign (sin x) · cos x
																					2sign (sin x) · cos x

					·			tg .				√1 + 2x − x2 .									√1 + cos2 x .
		sign x													π									2sign x
4.8.		√						.		4.9.	1	x =					+ kπ, k Z .				4.10.		−						.
															4									1 + x2
				1 − x2											4									1 + x2
78

4.11.

1 + x4

4.12.

4.13.

√

− x .

1 + x6

√

x − 1

arccos

√

x arccos

4.14.

. 4.15. (sin x)1+cos x ·( ctg 2x −ln sin x) −(cos x)1+sin x ×

(1 − x2) 2

sign ( sh x)

×( tg 2x −ln cos x). 4.16. −

4.17.

. 4.18. −

√

sh 2x

ch x

ln a

1 − x2

arccos x

ln(arccos x)

a−x

1 − x − x

(1 + a2x)2

arctg

. 4.20. x(1 − x2)

. 4.19.

1 + x . 4.21.

3x(1 − x2) ·

(x2 − 1)2

x4 + 6x2 + 1

x(x2 + 1)

1 − x

Занятие 5. Производная обратной, заданной параметрически и неявной функций

Задание

1. Показать, что существует однозначная функция y = y(x), опре-

деляемая уравнением

y3 + 3y = x,

инайти ее производную yx.

2.Определить области существования обратных функций x = x(y)

инайти их производные, если:

а) y = x + ln x; б) y = sh x.

3.Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций x = x(y), найти их производные, если

y = 2x2 − x4.

Найти производные yx от функций, заданных параметрически:

4.x = sin2 t, y = cos2 t.

5.x = a ch t, y = b sh t.

x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t).

x = arcsin

√

y = arccos

√

1 + t2

Найти производные от функций, заданных в неявном виде:

√

x + √y =

9. x 3

+ y 3

= a 3 .

10.arctg xy = ln x2 + y2.

11.Найти yx, если

r = aϕ,

где r = x2 + y2 и ϕ = arctg xy — полярные координаты.

Решения

1. Дифференцируемая функция y = y(x) (a < x < b) имеет однозначную непрерывную функцию x = x(y) только тогда, когда ее производная y (x) = 0, причем обратная функция также дифференцируема и справедлива формула

1 xy = yx .

Для функции

x = y3 + 3y

имеем xy = 3(y2 +1) = 0. Следовательно, существует обратная функция y = y(x) и

y =	1	=	1	.
	xy		3(y2 + 1)
x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.09.2019211.97 Кб4Mirovozzrenie_i_ego_tipy.doc
#
01.05.2025386.05 Кб0mir_ek.doc
#
01.05.2025845.48 Кб0MKLI_Zadachi.rtf
#
27.03.20151.12 Mб42MMATAN01.pdf
#
27.03.2015651.36 Кб29MMATAN02.pdf
#
27.03.20151.02 Mб112MMATAN04.pdf
#
27.03.20151.1 Mб28MMATHAN05.pdf
#
01.09.2019285.18 Кб6Module 3_Company.doc
#
24.08.201941.3 Кб4moi_laby.docx
#
22.09.2019482.82 Кб3moi_otvety_na_fto_sukhodoev.doc
#
11.07.2019141.39 Кб14moi_voprosy_po_yazykoznaniyu.docx