Скорость и ускорение произвольной точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса

Скорость произвольной точки М твердого тела определяется по формуле

, (2.3)

где – радиус-вектор точкиМ относительно неподвижного полюса (рис. 2.4,а). Величина скорости , где– расстояние от точкиМ до мгновенной оси вращения . Направление вектора скорости определяется направлением векторного произведе- ния (2.3).

Величина и направление скорости точки могут быть определены через алгебраические величины ее проекций на оси координат Оxyz (или аналогично на оси Oξηζ):

; ;,

где (x, y, z) – координаты данной точки, ,,– алгебраи-ческие величины проекций угловой скорости на оси координат Оxyz, вычисленные по формулам (2.1).

Ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного полюса, определяется из геометрической суммы двух ускорений: ,– осестремительного и вращательного(рис. 2.4,б).

Величина и направление каждой из составляющих ускорений определяются формулами

или (2.4)

по величине ; (2.5)

по величине , где– расстояние от точкиМ до линии действия углового ускорения.

Осестремительное ускорение всегда направлено по перпендикуляру, опущенному из точкиМ на мгновенную ось вращения. Вращательное ускорение направлено по перпендикуляру к плоскости векторов ,в ту сторону, откуда поворот отквиден, против часовой стрелки. Полное ускорение точки находим геометрическим сложением векторови, а по величине

. (2.6)

Порядок выполнения задания

Задача сформулирована отдельно для каждого варианта, чертежи к задачам помещены на схемах, необходимые данные – в таблице «Исходные данные», с. 3336 (кроме вариантов, отмеченных звездочкой, с №№ 14, 15, 18, 19, 20, которые содержат исходные данные в условии задачи). Во всех вариантах рассматривается регулярная прецессия твердого тела.

1. Найти неподвижную точку вращения тела, выбираемую за начало отсчета неподвижной (инерциальной) и связанной коорди-натных систем. Выбрать оси прецессии , ротации.

2. Определить угловые скорости нутации, прецессии, ротации, мгновенную угловую скорость и мгновенную ось вращения. В зависимости от движения твёрдого тела векторможно найти двумя путями: 1) определениемпо ее составляющим (2.1); 2) использованием мгновенной оси вращения.

По известной скорости какой-либо точкиМ твердого тела и положению оси найти величину, где кратчайшее расстояние от точки М до мгновенной оси .

3. Определить угловое ускорение твердого тела. Как известно,, где точкаk – конец вектора . В случае регулярной прецессииявляется закрепленным в точкеО векто-ром и определяется по формуле (2.2).

4. Определить скорости произвольных точек твёрдого тела по формуле (2.3).

5. Определить ускорения произвольных точек твёрдого тела. Ускорение любой точки твёрдого тела определить по формуле, где осестремительное ускорение определяется по (2.4), а его величина, вращательное ускорение по (2.5), его величина

Так как всегда направлено пок оси, можно не пользоваться векторной формой для. Наоборот,следует находить только в векторной форме.

Поскольку при вращении около полюса (в отличие от вращения около неподвижной оси) не коллинеарен, тои, вообще говоря, не являются перпендикулярными векторами. Поэтомуследует находить после построения векторов на чертеже, и величина ускорения будет определяться по (2.6).

Для точек, лежащих на оси ротации твёрдого тела, справедливы и следующие зависимости:

и ,

где  нормальное ускорение;  касательное ускорение; при регулярной прецессии ; кратчайшее расстояние от точки, лежащей на оси ротации, до оси прецессии .

Задание выполняется с приведением эскизных чертежей. Величины, приводимые в таблицах «Исходные данные», считаются точными. Все векторы, лежащие в плоскости xOy (плоскости чертежа), должны быть изображены в этой плоскости; направление других векторов должно быть указано в тексте.