Определение радиуса кривизны траектории точки

В том случае, когда движение задано координатным способом, радиус кривизны траектории определяется следующим образом:

 по формулам координатного способа задания движения (1.1) определяются скорость и полное ускорение точки:

;

 по формулам траекторного способа задания движения (1.2) определяются нормальное и касательное ускорения:

,

и далее  радиус кривизны траектории по формуле (1.3):

. (1.4)

Порядок выполнения задания

Движение точки задано кинематическими уравнениями в соответствии с номером варианта задачи (см. таблицу «Исходные данные» с. 10-14).

1. Определить траекторию точки и изобразить ее на чертеже. Указать на ней положение точки в заданные моменты времени, обозначив их М₀ и М₁ (М₀ – в момент времени t = 0; М₁  в момент t = t₁).

2. Определить алгебраические величины проекций скорости точки в общем виде, а затем для момента времена t = t₁. По найденным алгебраическим величинам проекций скорости построить вектор на чертеже и вычислить его величину.

3. Определить алгебраические величины проекций ускорений точки на оси координат в общем виде, а затем для момента времени t = t_1. Построить вектор ускорения на чертеже и вычислить его величину.

4. Для определения касательного ускорения необходимо иметь проекцию вектора скорости точки на касательную в виде функции времени: , тогда касательное ускорение точки опреде-ляется по формуле. Определитьдля момента време-ни t = t₁ и построить этот вектор на чертеже.

5. Установить характер движения точки в момент времени t = t₁ (по направлениям векторов и). Если векторы сонаправлены, то движение точки ускоренное, если они противоположны по направлению, то – замедленное.

6. Нормальное ускорение точки в момент времени определяется из равенства

,

в котором каждый из векторов ивычислен в этот момент времени. Векторпостроить на чертеже.

7. Радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t₁ определить по формуле (1.4).

Исходные данные

№ вар.	x =x(t)	y =y(t)	z =z(t)	t1, с
	м
1			0
	0
		0
2			0	1
		0
	0

№ вар.	x = x(t)	y = y(t)	z = z(t)	t1, с
	м
3			0	0
			0
	0
4	0
		0		1
	0
5			2	1
		0
	2
6			3
		0
			6	1
7			0
		0		1
	0

№ вар.	x =x(t)	y =y(t)	z =z(t)	t1, с
	м
8	0
			0	1
		0
9			0
		0
	0
10			0
		0
			0
11	0
		0
			0
12		0		1
			0	1
		0

№ вар.	x =x(t)	y =y(t)	z =z(t)	t1, с
	м
13			0
	0			1
		0
14		0
	0
			0
15			0	1
		0		2
	0
16	0
		0
			0
17			0	20
	0
	t	0		1
18			0
		0
	0			1

№ вар.	x =x(t)	y =y(t)	z =z(t)	t1, с
	м
19	0
			0
		0
20			0
		0		1
	0			1

П р и м е р.  Движение точки задано кинематическими урав-нениями: ;;;, гдеx и y в м, а t  в с.

1. Определить траекторию точки и построить её на чертеже. Указать на ней положения точки в заданные моменты времени, обозначить их и(– в момент времени;– в моментс) pис. 1.4. Исключив параметр из уравнений, получим

.

Так как , то это уравнение окруж-ности с радиусом .

При

Рис. 1.4

При с,

а (м),

,

.

;, так как.

2. Для момента времени определить и построить на чертеже:

 скорость точки :

,

(м/с),

(м/с),

,

 модуль вектора скорости.

Направляющие косинусы вектора скорости:

,

,

.

 ускорение точки :

,

.

Модуль вектора ускорения точки :

.

Направляющие косинусы вектора ускорения точки:

,

,

.

3. Определить касательное и нормальное ускорения точки

,

постоянные величины;

,

.

Полное ускорение точки равно нормальному ускорению, так как скорость по величине постоянна:.

4. Определить характер движения точки: точка движется по окружности равномерно!

5. Определить радиус кривизны траектории точки в момент :

нормальное ускорение;

отсюда

 радиус окружности траектории точки .