Математическое моделирование финансовой системы на основе статистических методов

С точки зрения математики, задачу создания финансового прогноза можно отнести к статистическим нелинейным задачам. До недавнего времени при создании прогнозов статистические методы имели большое распространение, основные из них следующие:

• экстраполяция (прогнозирование на основе тенденций развития в прошлом);

• цепной метод (увязка будущих значений с предшествующими);

• гипотетический (косвенное прогнозирование);

• имитационное моделирование.

Экстраполяция имеет несколько вариантов, наиболее типичными являются следующие.

1. Оценка статистической связи с влияющими параметрами.

2. Расчет временного тренда.

3. Функциональное прогнозирование.

4. Фазовый анализ.

Оценка статистической связи с влияющими параметрами заключается в оценке связи прогнозируемого параметра с показателями, оказывающими на него непосредственное влияние (например, курс тесно связан с учетными ставками, биржевыми индексами, инфляцией, индексами потребления и безработицы и т. д.). Степень их влияния различна.

Расчет временного тренда. Если отойти от экономической базы, то, например, курс можно выразить через зависимость от номера временного периода. В наиболее упрощенном виде это можно представить формулой:

g(t) = а + bt,

в которой коэффициенты а и b определяются на основе минимальной ошибки по всей выборке.

Функциональное прогнозирование основано на балансе спроса и предложения. Допустим, что стоит задача прогнозирования курса на основе данных спроса и предложения валюты, тогда если: S₀ — спрос, Р₀ — предложение, то

S₀ + s = Р₀ + р,

где изменение спроса и предложения определяются как

,

В случае пропорционального изменения курса и дефицита валюты уравнение имеет вид

∆ g(t) = r(S(t-l)-P(t-l)),

в котором коэффициент г определяется по статистическим данным.

Повышение точности обеспечивается выявлением зависимости r от S и Р, что соответствует стремлению получить зависимость чувствительности спроса и предложения от условий, сглаживание за предшествующий период.

Фазовый анализ. Для исходного ряда значений x(t) вводится уровень m:

• значениям x(t) > m(t) — соответствует положительная волна;

• значениям x(t) < m(t) — соответствует отрицательная волна. Момент, когда выполняется условие x(t - 1) < m(t) при x(t) < m(t) — характеризует переход из положительной в отрицательную фазу, и наоборот. Статистическая обработка включает:

• отбрасывание малозначительных фаз;

• расчет среднего значения;

• оценка амплитуды отклонений.

Для практической оценки амплитуды отклонений строят графики среднего курса: на разных временных интервалах (суточные, двухсуточные, недельные, месячные, годовые). Сравнение их между собой, анализ моментов пересечений принимается за базу для выполнения прогнозов.

Цепной метод – это прогнозирование на основе статистических закономерностей в значениях временного ряда, позволяющее определить g(t) через функциональные значения предыдущих периодов g(t - 1), g(t - 2), ...

g(t) = f(g(t-l),g(t-2),...,g(t-n)).

Выявление связей между g(t) и предшествующими значениями определяется на основе автокорреляционной функции.

К разновидности экстраполяционных методов можно отнести метод прогнозирования на основе адаптивных моделей, и, как утверждают его сторонники, модели такого типа способны учитывать эволюцию динамических характеристик. Наибольшее распространение получили модели с использованием процедуры экспоненциального сглаживания, в основе которых лежит предположение о наличии медленного дрейфа параметров прогнозируемой модели.

Алгоритм расчета по данным методам сводится к следующему: определяются факторы, влияющие на цену, по каждому из них производится подбор статистических данных, с помощью числовых рядов находятся коэффициенты.

На основании модели, построенной таким способом, практически нельзя определить вид зависимости между факторами, а также взаимосвязь факторов, следовательно, нельзя проследить влияние факторов на прогнозируемый параметр.

Гипотетический прогноз – заключается в оценке прогнозируемых значений под воздействием происходящих событий

dg_j = ∑dg_ij + P_ij,

где: dg_j и P_ij — возможные значения изменения прогнозируемого параметра и его вероятность, если произойдет j-e событие.

При наборе гипотез

dg_j = ∑∑ dg_j + P_ijf_j,

где: f_j — вероятность появления j-гo события.

Данный метод позволяет оценить вероятность будущих значений курсов и затем вычислить коммерческий риск форвардов.

Вычисления, основанные на использовании аппарата множественной регрессии, характеризуются большим объемом, участием специалистов-математиков, длительным временем обработки, даже с использованием современной техники, невысокой точностью результатов. Современные программные разработки, в частности, продукт Risk Analysis (Palisade Corporation), позволяют преодолеть многие из этих недостатков и пользоваться этими методами, не имея особых математически способностей. Тем не менее, по мнению многих авторитетных людей, статистические методы не имеют больших перспектив в будущем.

Имитационное моделирование. Комплексный учет тенденций и факторов при расчете валютного курса на основе имитационных моделей. Пионерами направления являются Дж. Норрис и М. Эванс, создавшие математическую модель, в которой валютный курс — часть общей имитационной модели динамики основных макроэкономических показателей страны.

Математическое моделирование заключается в разбиении исходной схемы на блоки, выполняющие определенные математические функции и связанные между собой потоками и обратными связями. В качестве потоков рассматривается движение денежных средств, направляемых на потребление, сбережения, инвестиции, импорт, средства от экспорта, платежи за ресурсы и т. д., в качестве обратных связей — уровень учетных ставок, биржевые индексы, инфляция, валютные курсы и другие.

Моделирование финансовой системы характеризуется тем, что не всегда имеется возможность четко выделить численные значения параметров потоков и определить функциональную часть блоков, так как потоки могут перераспределяться от случая к случаю и зависеть от изменяющихся временных параметров с наложением факторов ожидания и директивного управления со стороны Национального банка.

Кроме непосредственно финансовых потоков в системе имеются такие данные, как учетные ставки, биржевые индексы, доходность по ценным бумагам и большое число другой информации, которая оказывает влияние на рынок и играет в системе роль индикаторов и обратных связей.