Зубчасті механізми з рухомими геометричними осями коліс

Такі механізми з одним ступенем рухомості називаються планетарними (рис. 3), а з двома і більше ступенями свободи  диференціальними механізмами або просто диференціалами.

Планетарні механізми можуть відтворювати дуже великі (або дуже малі) передавальні відношення при малих габаритах і малому числі зубців.

Призначення диференціальних механізмів  складання і розкладання рухів. У першому випадку ці механізми використовуються для приведення в рух одного робочого органу від двох незалежних джерел руху. У другому випадку такий механізм застосовується для приводу в рух двох робочих органів від одного джерела енергії (диференціал автомобіля).

У епіциклічних механізмах колеса з рухомими осями обертання називаються сателітами (ланка 2  рис. 3, а, рис. 4; ланка 23  рис. 3, б, в, г). Ланка H, на якій розташовується вісь сателітів, називається водилом.

а б в г

Рис. 3. Планетарні механізми: а – редуктор Джемма; б, в, г – редукторі Давида

Зубчасті колеса з нерухомою віссю обертання 1, 4 (рис. 3) називають центральними, або сонячними. В планетарних механізмах є нерухоме колесо 3 (рис. 1.3, а), колесо 4 (рис. 1.3, б, в, г).

Зв'язок між кутовими швидкостями диференціального механізму (рис. 4) установлений формулою Вілліса.

Для її виведення застосуємо метод оберненого руху (метод інверсії). Завдамо ланкам механізму кутову швидкість

– _H, тобто швидкість, яка дорівнює кутовій швидкості водила H, але направлену в протилежний бік. Відносні рухи ланок при цьому не змінюються. Швидкості ж відповідно змінюються (див. табл. 1).

Таблиця 1

Кутові швидкості основного і оберненого механізмів

Ланка	Фактична кутова швидкість	Кутова швидкість в оберненому русі
Колесо 1
Колесо 2
Колесо 3
Водило		0

Рис. 4. Диференціальний механізм

В цьому випадку водило стає нерухомим, а диференціал перетворюється на механізм з нерухомими осями коліс (обернений механізм). Тоді передаточне відношення від ланки 1 до ланки 3 при нерухомому водилі визначиться за формулою

(1.9)

або у загальному вигляді

, (1.10)

де n  номер веденого колеса.

Формула Віліса для диференціала дозволяє визначити передавальне відношення планетарного механізму.

Обчислимо, наприклад, передаточне відношення планетарного механизму (рис. 3, г). Запишемо формулу Вілліса для аналогічного диференціального механізму (при вільному колесі 4):

. (1.11)

В планетарному механизмі , тоді формула Вілліса перетворюється до вигляду

. (1.12)

Розділивши почленно праву частину формулу Вілліса, отримаємо

.

З цього виразу

. (1.13)

Вираз (1.13) називаеться формулою Вілліса для планетарного механизму.

Якщо відомі числа зубців Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, то можна розрахувати передавальне відношення . Попередньо знайдемо передавальне відношення оберненого механизму (з нерухомими геометричними осями коліс):

.

Тоді (1.13) прийме остаточний вигляд:

. (1.14)

Запишемо (без виведення) формули для визначення передаточного відношення планетарних механізмів різних типів.

Тип а (рис. 3, а):

;

тип б, в (рис. 3, б, в)

. (1.15)

Для планетарного механизму з ведучим водилом можна записати:

. (1.16)