6 Матрицы. Осн определения

Матрица – с-ма m*n чисел распол-ых в прямоуг таблице из m строк и n столбцов. Числа этой табл наз элементами матр. Матр обозн-ют эл-ты а_i1 а_i2 а_in – i-ю строку (i=1,2..), эл-т: а_1к а_2к а_mk – k-ий столбец. а_ik - эл-т принадл-ий i-той строке к-тому столбцу матр, i и к – индексы эл-ов. Матр все эл-ты кот =0 наз нулевой матр, обоз-ся 0. .Вадр матр – матр, у кот число строк=числу столбцов (m=n): (1)

Порядком кв матр наз число её строк или столбцов. Кв матр 1-го порядка отждеств-ся со своим ед эл-том. Выпишим кв матр 1-х 3-ёх порядков: (а_1.1); ;. будем говорить что эл-ты а_1.1 а_1.2....а_n.n кВ матр (1) образует её гл диагональ, а эл-ты а_1.n а_2n-1 а_n1 – побочные диагонали. Диагон матр - кв матр, у кот все эл-ты не принадлеж-ие гл диагонали=0, т.е. это матр .Единичная матр – диагон матр у кот все эл-ты гл диагонали=1. Обозначим их Е. .Треуг матр – кв матр все эл-ты кот расположены на одну сторону от гл диагонали=0. Различают верхнюю и нижнюю треуг матр.

33 Мат модель димаграфич-го пр-са

Рассм демографич-ий пр-сс, мат ахр-ки кот привели к диф ур-ию. Из статистич данных известно, что число новорожд за единицу вр, напр за единицу в год, пропорц-но числу населения в данном регионе с коэф-ом пропорции к₁, а число измеренных также пропорц-но числу населения с коэф-ом пропорц-ти к₂. Треб-ся устан-ть з-н, по кот определять числен-ть населения данного региона в завис-ти от вр. Обозначим ч-з у число жителей региона. Очевидно, что величина у явл ф-ией вр, т.е. y=y(t). Тогда по усл з-чи число родив-ся за ед вр = к₁*у, а число умер-ых за ед вр = к₂*у. прирост населения за ед вр будет к₁*у- к₂*у=( к₁- к₂)у. Разность к= к₁- к₂ наз коэф-ом естеств-го прироста.

Используя диф вычисл-я, т.е. , получаем, что за малый промежуток вр df прирост нас-ия постоянный Так обр получаем мат модель димограф-го пр-са.

34 Осн понятия теории диф ур-й 1-го порядка.

Диф ур-ем 1-го пор наз ур-е вида: (1) или(2) где- независимая переменная,- неизв-ая ф-ия,= её производная.

Реш диф ур-ий (1)или(2) наз ф-ия такая что

Общим реш диф ур-ия 1-го пор наз такое его реш, зависящая от произвольной С, из кот получ-ся люб частное реш, в частности и соотв-е допустимое нач усл з-чи Коши.

З-чи Коши для диф ур-ий 1-го пор сост в след: необходимо н-ти реш у=(х), ур-ие (1) или (2) удовлетв-т усл у(х₀)=у₀ называемому нач усл.

Общее реш диф ур-ий 1-го пор имеет вид: .Т. Коша: если в ур-ие y`=F(x;y) и её частная производная F`(x;y) непрер-на в некот замкнутой об-ти D и точка (х₀; у₀), то сущ ед решэтого ур-ия удовлетв-го нач историю при х=х₀, у=у₀.

Реш получ-ые из общ реш диф ур-ия путём залания произвольной постоянной опред-го числ-го знач-я наз частными .На практике частное реш получ-ся из общего непрям, задним значений производной постоянной, а сходя из тех усл, кот должны удовл-ть искомое частное реш. Задание таких усл наз заданием нач усл и запис-ся F(x₀)=y₀).

З-ча нахождения частного реш удовлетв-го им нач усл у=у₀, наз з-чей Коша. С геом точки зрения общ реш предоставл-ет семейство кривых, а частное реш – отдельные кривые этого семейства. Среди диф ур-ий встреч-ся такие, кот имеют реш, не получ-ся из общ реш не при каких значениях С. Такое реш наз особым. Напр ур-ие имеет вид имеет общ решВ тоже вр ф-ия у=1 также явл реш этого ур-ия, хотя это реш не может быть получено из общ ни при каких значениях С, т.е. явл особым реш.