22 Выпуклость. Точки перегиба

Гр-к ф-ии у= f(x) наз выпуклым вниз (вверх) в данном промежутке, если он целиком расположен выше (ниже) касат в его произвол-ой точке.

Т1 если 2-я произв-я ф-ии у= f(x) в данном промеж «+», то гр-к её явл выпуклым вниз в этом промеж; если f``(x)<0, то гр-к ф-ии явл выпуклым вверх в соотв промеж

Точкой перегиба графика ф-ии у= f(x) наз такая его точка М₀ в кот выпуклость мен-ся на вогнутость (по отнош к одному и тому же напрвл вверх или вниз)

Т2 если в точке х х₀ 2-я произв-я ф-ии у= f(x) обращ-ся в 0 и меняет знак при переходе ч-з неё, то М₀ (х₀, у₀) – точка перегиба гр-ка это ф-ии

23 Асимптоты.

Асимптота – прямая, к кот неограниченна приближ-ся данная линия, когда её точка неограниченно удал-ся от начала координат.

Прямая х=а наз вертик асимпт гр-ка ф-ии у= f(x), если хотя бы одно из предельных значений явл . (напр. прямаях=а вертик асимпт гр-ка ф-ии )

Прямая наз наклонной асимпт гр-ка ф-ии у= f(x), если эта ф-ии представлена виде +0(x)

Т гр-к ф-ии у= f(x) имеет при наклонную асимпт , тогда сущ 2 конеч предела

24 Схема исследования ф-ии.

Исследов ф-ий и построение гр-ков можно проводить след образом: 1)найти обл опред ф-ий, её точки разрыва; 2) изучить изменение ф-ий пристремлении аргкмента к концам промеж обл опред; 3) н-ти точки экстремумов в промеж возр и убыв ф-ий; 4) выч-ть значение экстремумов, построить соответств точки; 5) опред-ть промеж выпукл и вогнут гр-ка, н-ти точки перегиба; 6) н-ти точки пересечения с координ осями; 7) н-ти асимптоты гр-ка ф-ии

25 Неопред интеграл и его св-ва

Неопред-й интеграл от даннйо ф-ии наз мн-во всех её первообр-х., гдеF(x)=f(x), знак неопред-й интеграл, ф-ияF(x) – подинтегр-ая ф-ия, выражение - подинтегр выраж. Операция нахождения первообр данной ф-ии назинтегриров-ем. Св-ва неопр-го интеграла: 1) произв-я неопр-го интегр =подинтегр-й ф-ии. Дифференциал неопр-го интегр =подинтегр выраж. . 2) неопред интегр от дифферен-ла некот ф-ии = этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого. 3) постоянный мн-ль можно выносить за знак неопред интегр(k=const, k) 4) если ф-ии f₁(x) и f₂(x) имеют первообр-е, то ф-ии f₁(x) + f₂(x) тоже имеют первообр, причём

26 Табл осн неопред интегралов

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4)9)

5) 10)

27 Понятие об собственных методах интегрирования

К наиболее важным методам интегр относ-ся методы: непосредств-го интегр, замены переменной и интегрир по частям. Метод непосредств-го интегр – основан на св0ве 4 неопр-го интеграла. Если ф-ии f₁(x), f₂(x)…f_n(x) имеют первообр в некот промеж, то ф-ия f(x)= f₁(x),+f₂(x)+…+f_n(x) также имеют первообр в том же промеж, причём , т.е. неопр интеграл от алгебраич суммы конеч числа ф-ий равен такой же алгебраич сумме неопред интеграла от слагаемых.Метод замены переменной основан на след Т: если F(x) – первообр ф-ии f(x), а - дифференцируемая ф-ия, тотакже имеет первообр, причём. Док-во: по правилу диф сложной ф-ии, т.е ф-ияимеет в кач-ве одной из своих первообр ф-ию. ЧТД

- по этой ф-ле осущ-ся замена переменной в неопред интеграле. Метод интегрир по частям основан на след ф-ле: , поскольку

28 Понятие определённого интеграла, его геом смысл.Пусть дана ф-ия y=f(x) определ на отр [a;b] где a<b. Отр [a;b] точками а=х₀<x₁, <x₂…<x_n-1 <x_n=b разобьём на n элементар отр [a, x₁], [x₁, x₂]…[x_k-1,x_k]…[ x_n-1, b] длины кот обозначены ч-з . В каждом их элементарных отр[x_k+1,x_k] выберим произвольную одну точку умножим на длину отрполучим произведСоставим сумму всех таких произвед.. Эта сумма наз интегр-ой суммойна отр [a;b]. Обозначим ч-з длину наиб из элементар отр[x_k-1,x_k] при данном n, т.е. =max (Определ интегр от ф-ииy=f(x) на отр [a;b]наз конечный предел её интегральной суммы, когда число элементар отрезков неогр возр, адлина наиб из них стремится к 0. Опред интеграл обозн-ся символом (чит-ся опред интеграл от .наз подинтегр ф-ей, х – переменное интегрирование,b – верхний. по опред. Ф-ия для кот сущ такой предел наз интегрир-иена отр [a;b].Геом смысл. Опред интегр от ф-ии y=f(x)на [a;b] = площади криволин трапеции, огранич-й сверху гр-ка ф-ии y=f(x) слева и справа отр прямых x=a, x=b, отр оси О_х снизу или сверху.

29 Осн св-ва опред интеграла.

При введении понятия опред интегр предполагалось что a<b. Рассм случай когда a=b и a>b. Пологаем по опред где - любая ф-ия., где- ф-ия интегрир-аяна отр [a;b] (a>b)

Св-ва: 1) если ф-ия f(x) интегрир-ая на отр [a;b], то ф-ия К* f(x), где к – const также интегрируема на этом отрезке, причём .