2 Инжен граф Лабор практикум

Еще проще определяется точка встречи если прямая общего положения пересекается с плоскостью частного положения, т.к. одна из проекций точки пересечения прямой с плоскостью всегда есть, она лежит на собирательном следе плоскости. На рис.4.59 показан комплексный чертеж с определением точки К пересечения прямой ℓ с плоскостью Р(Р1,Р2) фронтально проецирующего положения.

Видимость прямой относительно пересекаемой плоскости определяется методом конкурирующих точек.

4.7. Пример выполнения графической работы «Расстояние от точки до плоскости»

Даны координаты вершин треугольника АВС и вершины S. Требуется:

1)по координатам точек построить горизонтальную и фронтальную проекции вершины S и треугольника АВС;

2)в плоскости треугольника ABC провести горизонталь g, фронталь f, линию наибольшего ската w.

3)из вершины S опустить перпендикуляр l на плоскость треугольника

АВС;

4)определить натуральную величину перпендикуляра SK(l).

5)определить угол наклона плоскости треугольника АВС к горизонтальной плоскости проекций П1.

49

Эти задачи решаются на двух комплексных чертежах на одном листе формата АЗ.

Исходные данные

Координаты точек (мм)

Числовые данные варианта взять из приложения 11.2. Номер варианта вы-

дается преподавателем.

Оформление данной графической работы указано в прил. 11.1

1)Выполнение построений на чертеже начинают с проработки соответствующей темы данного учебного пособия и лекционного материала.

2)В левой половине листа намечаются оси координат, по числовым значениям X и Z , X и Y координат точек вершин треугольника ABC строится его фронтальная А2В2С2 и горизонтальная A1B1C1 проекции. Одноименные проекции вершин соединяются прямыми линиями. Также строится фронтальная и горизонтальная проекции точки S. Затем из точки S опускается перпендикуляр на плоскость Р, заданную треугольником ABC и определяется его натуральная величина.

Известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум прямым лежащим в этой плоскости.

Поэтому в плоскости треугольника АВС проводится горизонталь А2 (g) и фронталь В1 (f) (п. 4.5). Из точки S1 опускается перпендикуляр на горизонтальную проекцию горизонтали g1(А121), а из точки S2 – перпендикуляр на фронтальную проекцию фронтали f2(В212). Построенная прямая SK является перпендикуляром, опущенным из точки S на плоскость АВС (рис. 4.60).

Точка встречи перпендикуляра l с плоскостью АВС находится с помощью горизонтально проецирующей плоскости Q, проведенной через l. Горизонтальный след Q1 этой плоскости совпадает с горизонтальной проекцией l1 перпендикуляра l, а фронтальный след Q2 (не показан) перпендикулярен оси ОХ. Най-

50

дя линию МN пересечения плоскостей треугольника АВС и Q получают в пересечении прямых l и MN точку К встречи перпендикуляра l с плоскостью треугольника АВС. Отрезок SК, проекции S1К1 и S2К2 которого найдены, есть проекции расстояния от точки S до плоскости АВС.

Натуральная величина отрезка SК в данном примере определяется методом вращения. Горизонтальную проекцию S1К1 вращают вокруг оси, которая перпендикулярна П1 и проходит через точку S, до положения, параллельного оси X. Тогда новая фронтальная проекция S2К2' становится равной натуральной величине искомого расстояния от точки S до плоскости АВС (п. 3.4.).

3) В правой половине листа намечаются оси координат и по числовым значениям строится горизонтальная и фронтальная проекции треугольника АВС. Проводится в плоскости треугольника горизонталь g(g1,g2), а затем строит линия наибольшего ската w, которая всегда перпендикулярна горизонтали g. На основании свойства проецирования без искажения прямого угла w1 проводится перпендикулярно g1. Фронтальная проекция w2 получается по построению. Ограничив с двух концов линию наибольшего скатаw точками, определяютнатуральнуювеличину этого участка. Находят угол наклона полученного отрезка к П1. Полученное значение будет являться величинойугланаклонаплоскостиРкгоризонтальнойплоскостипроекций.

Вданномпримере(рис. 4.60) натуральнаявеличинаопределенаметодомпрямоугольного треугольника на горизонтальной плоскости проекций. Но задачу можно выполнить путем нахождения натуральной величины методом вращения, но только в том случае, еслионабудетнайденанафронтальнойплоскостипроекций.

Какполученные, такиисходныеданныеследуетотобразитьввидетаблицпроизвольногоразмера, расположенныхвсвободномполечертежа.

51

Рис. 4.60. Пример выполнения графической работы «Расстояние от точки до плоскости».

52

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Часто сложность решения позиционных и метрических задач начертательной геометрии зависит от положения заданных геометрических элементов относительно плоскостей проекций.

Если заданные геометрические элементы располагаются по отношению к плоскостям проекций в частном, наивыгоднейшем положении, решение задач становится проще. Например, на рис. 5.1 можно сразу определить кратчайшее расстояние (А2К2) от точки А до плоскости Р(Р1,Р2) частного, фронтально проецирующего положения, а на рис. 5.2 плоскость Р(Р1,Р2) общего положения и без дополнительных построений этого сделать нельзя.

Изменение комплексного чертежа, а точнее изменение относительного положения плоскостей проекций и геометрических элементов достигается двумя способами:

-способ замены плоскостей проекций (при неизменном в пространстве положении геометрических элементов система плоскостей проекций заменяется новой, по отношению к которой геометрические элементы будут находиться

внаивыгоднейшем положении);

-способ вращения (заданные геометрические элементы вращают вокруг некоторой оси до наивыгоднейшего положения относительно плоскостей проекций, положение которых при этом остается неизменным).

53

5.1. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что одна из плоскостей проекций системы П2/П1 (или последовательно обе) заменяется новой плоскостью, перпендикулярно к оставшейся. Положение заданных геометрических элементов в пространстве при этом не изменяется.

В системе П2/П1 покажем точку А и её проекции (рис. 5.3). Затем введём новую плоскость проекций П4, перпендикулярно плоскости П1, и осуществим переход от системы П2/П1 к системе П4/П1, т.е. мы построили новую фронтальную проекцию А4 точки А в системе П4/П1.

Рис. 5.3.

При этом положение горизонтальной проекции А1 точки А не изменилось, а фронтальная проекция А4 в системе П4/П1 оказалась на таком же расстоянии от новой оси Х2, на каком находилась фронтальная проекция А2 точки А от оси Х1 в системе П2/П1.

Следовательно, для того чтобы построить на комплексном чертеже новую фронтальную проекцию А4 точки А, мы должны из горизонтальной проекции А1 точки А провести перпендикуляр к новой оси Х2 и от точки пересечения отложить расстояние от заменяемой проекции А2 до заменяемой оси Х1 (рис. 5.4).

Для того чтобы построить новую горизонтальную проекцию А1 точки А, мы должны из фронтальной проекции А2 точки А провести перпендикуляр к новой оси Х2 и от точки пересечения отложить расстояние от заменяемой проекции А1 до заменяемой оси Х1 (рис. 5.5).

54

лу строим новые фронтальные (или горизонтальные) проекции точек А и В на плоскость П4. Новая проекция А4В4 отрезка прямой равна его натуральной вели-

чине - [А4В4] = [АB], а углы α и β показывают углы его наклона, соответственно к плоскостям проекций П1 и П2.

Для решения второй задачи необходимо заменить одну из плоскостей проекций новой плоскостью проекций перпендикулярно к отрезку прямой [АВ] и в, то же время, перпендикулярно к незаменяемой плоскости проекций, чтобы [АВ] в новой системе плоскостей проекций стала прямой проецирующего положения.

Но сразу, не нарушая условий способа замены плоскостей проекций, перевести прямую из общего положения в проецирующее нельзя. Необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую переводят в положение уровня, описанными в первой задаче построениями, а затем в проецирующее положение.

Продолжим решение задачи на комплексном чертеже - проведем новую ось проекций Х3 перпендикулярно А4В4 (рис. 5.6, 5.7), т.к. в новой системе плоскостей проекций П4/П5 или П5/П4 одна из проекций горизонтально или фронтально проецирующей прямой всегда перпендикулярна оси ОХ и по вышеприведенному правилу строим новые горизонтальные (или фронтальные) проекции точек А и В на плоскость П5. Новая проекция отрезка прямой А5В5 спроецировалась в точку, т.к. расстояния от заменяемых проекций точек А1 и В1

56

или А2 и В2 до заменяемой оси Х2 одинаковые. Следовательно, отрезок прямой АВ общего положения сначала был переведен в положение фронтального уровня, а затем в горизонтально проецирующее положение (рис. 5.6). А на рис. 5.7 переведен сначала в положение горизонтального уровня, а затем во фронтально проецирующее положение.

При решении третьей и четвертой задачи нужно помнить, что:

а) в отличие от прямой, плоскость общего положения вначале нужно перевести в проецирующее положение, а затем проецирующую плоскость перевести в положение уровня, т.е. нужно выполнить две последовательные замены плоскостей проекций т.к. при одной замене будут нарушены условия метода замены плоскостей проекций (новая плоскость проекций, параллельная плоскости общего положения, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций);

б) все преобразования плоскости общего положения, в частности при переводе ее в проецирующее положение, нужно производить относительно ее главных линий – горизонтали g или фронтали f, т.к. две плоскости (плоскость общего положения и новая плоскость проекций) взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости и при этом, к тому же, выполняется условие метода замены плоскостей проекций (новая плоскость проекций П4 будет перпендикулярна одной из старых плоскостей проекций, т.к. g // П1, а следовательно П4 П1 или f // П2, а следовательно П4 П2).

На комплексном чертеже (рис. 5.8) показано преобразование плоскости Р(∆АВС) общего положения вначале в плоскость фронтально проецирующего положения (система плоскостей проекций П4/П1), а затем в положение горизонтального уровня (система плоскостей проекций П4/П5). При первой замене ось

Х2 g1, при второй замене ось Х3 //∆А4В4С4, построение проекции точек А, В и С на плоскость П4 и П5 согласно правилу.

57