Бесконечно большие функции (б.Б.Ф) Бесконечно малые функции (б.М.Ф)

Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно большой при , если для любого числа М  0 существует число  =  (М)  0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывается или при .

Коротко:

Например, функция есть б.б.ф. при .

Если f (x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут ; если лишь отрицательные значения, то .

Определение. Функция y = f (x), заданная на всей числовой оси, называется бесконечно большой при , если для любого числа М  0 найдётся такое число N = N (М)  0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывается . Коротко:

Например, есть б.б.ф. при .

Отметим, что если аргумент х, стремясь к бесконечности, принимает лишь натуральные значения, т.е. , то соответствующая б.б.ф. становится бесконечно большой последовательностью. Например, последовательность является бесконечно большой последовательностью. Очевидно, всякая б.б.ф. в окрестности точки является неограниченной в этой окрестности. Обратное утверждение неверно: неограниченная функция может не быть б.б.ф. (Например, )

Однако, если , где b  конечное число, то функция f (x ограничена в окрестности точки .

Действительно, из определения предела функции следует, что при выполняется условие . Следовательно, при , а эот означает, что функция f (x) ограничена.

Определение. Функция y = f (x) называется бесконечно малой при , если

По определению предела функции это равенство означает: для любого числа найдётся число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Аналогично определяется б.м.ф. при

: Во всех этих случаях .

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначаются обычно греческими буквами ,  и т.д.

Примерами б.м.ф. служат функции при

Другой пример:  бесконечно малая последовательность.

Перечислим без доказательства основные теоремы о б.м.ф.

Теорема 5.2Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 5.3 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть бесконечно малая.

Следствие 1Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы 4.2 вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 5.4 Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличны от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема 5.5 Если функция — бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция: если функция — бесконечно большая, то — бесконечно малая.

Пример Показать, что функция при является бесконечно малой.

Решение. Так как , то функция есть бесконечно малая при . Функция ограничена .

Функция представляет собой произведение ограниченной функции (g(x)) на бесконечно малую ((x)). Значит, f(x) — бесконечно малая при x  1.

Теорема 5.6 Если функция имеем предел, равный b, то её можно представить как сумму числа b и бесконечно малой функции т.е. если то .

Теорема 5.7 (обратная) Если функцию можно представить в виде суммы числа b и бесконечно малой функции то число b является пределом функции , т.е. если , то .

Пример Доказать, что .

Решение. Функцию 5 + х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х  2 (при ), т.е. выполнено равенство . Следовательно, по теореме 3.4.6 получаем .