Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Сформулируем их в виде теорем, не приводя доказательств.

Теорема 5.21 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображённая на рисунке 29 функция непрерывна на отрезке , принимает своё наибольшее значение M в точке , а наименьшее m — в точке . Для любого имеет место неравенство .

Следствие 6 Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 5.22 (Больцано–Коши) Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах неравные значения и, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения междуΑ и Β.

Геометрически теорема очевидна (рисунок 30).

Для любого числа С, заключённого между Α и Β, найдётся точка с внутри этого отрезка такая, что Прямаяпересечёт график функции по крайней мере в одной точке.

Следствие 7 Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, в которой данная функция обращается в нуль:

Геометрический смысл теоремы: если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ох на другую, то он пересекает ось Ох (рисунок 31).

Следствие 7 лежит в основе так называемого «метода половинного деления», который используется для нахождения корня уравнения .

Утверждения теорем 3.21 и 3.22, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какиелибо из её условий: функция непрерывная не на отрезке ,а в интервале , либо функция на отрезке имеет разрыв.

Рисунок 32 показывает, что график разрывной функции не пересекает ось Ох.

ПримерОпределить с точностью докорень уравнения, принадлежащий отрезку, применив метод половинного деления.

Решение. Обозначим левую часть уравнения через .

Шаг 1. Вычисляем

Шаг 2. Вычисляем

Шаг 3. Вычисляем . Если , тох — корень уравнения.

Шаг 4. При еслито полагаеминаче полагаем

Шаг 5. Если то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ε) принимается величинаИначе процесс деления отрезка пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2.

В результате произведённых действий получим: х = 0,29589.

Асимптоты графика функции

Понятие асимптоты уже рассматривалось при изучении формы гиперболы.

Определение. Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рисунок 33).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если , или, или.

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 33 видно, что расстояние точки кривой от прямой равно . Если , то . Согласно определению асимптоты, прямая является асимптотой кривой . Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (рисунок 34) , так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

. (4)

где и (5)

Итак, если существует наклонная асимптота , то k и b находятся по формулам (5) .

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (5) то прямая (4) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (5) не существует или равен бесконечности. То кривая наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если то Поэтому — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание. Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (5) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .

Пример Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как то график функции при наклонной асимптоты не имеет.

При справедливы соотношения

Следовательно, при график имеет горизонтальную асимптоту

…