Диплом / suslov_ibragimov_ekonometrika

A.3.Сведения из теории вероятностей и математической статистики 703

A.3.Сведения из теории вероятностей и математической статистики

A.3.1.Характеристики случайных величин

Определения

¥ Функцией распределения случайной величины x называется функция Fx (z) = Pr(x ! z),сопоставляющаячислу z вероятностьтого,что x непревышает z.Функция распределения полностью характеризуетотдельную случайную величину.

¥Если случайная величина x непрерывна,то она имеет плотность fx(á),которая связана с функцией распределения соотношениями fx(z) = Fx! (z).

¥Квантилью уровня F ,где F [0; 1], (F -квантилью)непрерывной случайной величины x называется число xF ,такое что

¥Медианой x0,5 называется 0, 5-квантиль.

¥Модой непрерывной случайной величины называется величина,при которой

◦

плотность распределения достигает максимума,т.е. x = arg max fx(z).

z

¥Если распределение непрерывной случайной величины x симметрично относительно нуля,т.е. fx(z) = fx(−z) и Fx (−xF ) = 1 − Fx(xF ),то двусторонней F -квантилью называется число xF ,такое что

704ПриложениеA.Вспомогательные сведения из высшей математики

¥Математическим ожиданием непрерывной случайной величины x называ-

ется E(x) = /−∞+∞ tfx(t)dt.

¥Математическое ожидание является начальным моментом первого по-

¥По случайной величине x может быть построена соответствующая ей центрированная величина xö : xö = x − E(x),имеющая аналогичные законы распределения и нулевое математическое ожидание.

¥Центральныммоментом q-гопорядкаслучайнойвеличины x называетсяначальный момент q-го порядка для соответствующей центрированной величины xö,т.е. E(öxq ) = E [(x − E(x))q ].Для непрерывной случайной величины центральный момент q-го порядка равен

µq = - +∞(t − E(x))q fx(t)dt.

−∞

¥Дисперсией случайной величины называется центральный момент второго порядка.Для непрерывной случайной величины дисперсия равна

¥ Среднеквадратическим отклонением называется квадратный корень из дис-

Z

персии σx = σx2.Нормированной(стандартизованной)случайной величи-

x − E(x) .

σx

¥Коэффициентомасимметрииназываетсяначальныймоменттретьегопорядка нормированной случайной величины,т.е.

¥Куртозисом называется начальный момент четвертого порядка нормированной случайной величины,т.е.

Коэффициентом эксцесса называется δ4 − 3.

706 ПриложениеA.Вспомогательные сведения из высшей математики

Функция распределения и плотность

¥ Для многомерной случайной величины

¥ Если случайные величины x1, . . . , xn независимы,то

fx1, ..., xn (z1, . . . , zn) = fx1 (z1) á . . . á fxn (zn ).

Математическое ожидание

¥ Если c Ñконстанта,то E(c) = c.

¥ Если x и y Ñлюбые две случайные величины,то

E(x + y) = E(x) + E(y).

¥ Если c Ñконстанта,то E(cx) = cE(x).

¥В общем случае E(xy) =! E(x)E(y).

¥Если функция f (á) вогнута,то выполнено неравенство Йенсена:

E (f (x)) ! f (E(x)) .

¥ Для симметричного распределения выполено E(x) = x0,5.

Дисперсия

¥var(x) = E(x2) − E(x)2.

¥Для любой случайной величины x выполнено var(x) " 0.

¥Если c Ñконстанта,то выполнено: var(c) = 0; var(c + x) = var(x); var(cx) = c2var(x).

¥Если x и y Ñлюбые две случайные величины,то в общем случае:

var(x + y) =! var(x) + var(y).

Ковариация

¥cov(x, y) = E (xy) − E(x)E(y).

¥cov(x, y) = cov(y, x).

¥cov(cx, y) = c á cov(x, y).

¥cov(x + y, z) = cov(x, z) + cov(y, z).

¥cov(x, x) = var(x).

¥Если x и y независимы,то cov(x, y) = 0.Обратное,вообще говоря,неверно.

щие центрированные нормированные случайные величины.Следовательно, свойства корреляции аналогичны свойствам ковариации.

¥ρx,x = 1.

¥−1 ! ρx,y ! 1.

¥Если ρx,y = 0,то E (xy) = E(x)E(y).

Свойства условного ожидания и дисперсии

¥E (α(y)|y) = α(y).

¥E (α(y)x|y) = α(y)E (x|y).

¥E (x1 + x2|y) = E (x1|y) + E (x2|y).

¥Правило повторного ожидания: E (E (x|y, z) |y) = E (x|y).

¥ Если x и y независимы,то E (x|y) = E (x).

¥var (α(y)|y) = 0.

¥var (α(y) + x|y) = var (x|y).

¥var (α(y)x|y) = α2(y)var (x|y).

A.3.2.Распределения, связанные с нормальным

Нормальное распределение

Нормальное(или гауссовское)распред еление с математическим ожиданием µ и дисперсией σ2 обозначается N 0µ,σ 21 и имеет плотность распределения

Нормальное распределение симметрично относительно µ,и для него выполня-

◦

ется E(x) = x0,5 = x = µ.

Моменты нормального распределения:µ2k+1 = 0 и µ2k = (2k − 1)!! á σ2k = = 1 á 3 á . . . á σ2k при целых k,в частности, µ4 = 3σ4.

Коэффициент асимметрии:δ3 = 0.

Куртозис δ4 = 3,коэффициент эксцесса равен нулю.

Стандартным нормальнымраспределениемназывается N (0, 1).Егоплотность ϕ(z) = √12π e− z22 ;функция распределения Φ(z) = -z √12π e− t22 dt.

−∞

Многомерное нормальное распределение

n-мерное нормальное распределение с математическим ожиданием µ (n × 1)

Свойства многомерного нормального распределения:

¥ Если x N (µ, Σ),то Ax + b N (Aµ + b, AΣA!).

¥Если x N (0, Σ),где Σ (n × n) Ñневырожденная матрица,то x!Σ−1x χ2n .