Новая папка / Samostoyatelnaya_5

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

Чорноморський державний університет імені Петра Могили

Факультет комп’ютерних наук

Кафедра прикладної та вищої математики

Самостійна робота № 6

Тема: «Кратні інтеграли»

Варіант № 14

Виконав:

студент 101 групи

Спеціальності

«Комп’ютерні науки»

Мінаєв Олексій

Перевірив:

доктор технічних наук,

професор кафедри прикладної

та вищої математики

Дихта Леонід Михайлович

Миколаїв 2014

Завдання 2.1

Умова:

Обчислити визначений інтеграл :

Розв'язок:

Позначимо:

Скористаємось формулою інтегрування по частинам :

Отримуємо:

Позначимо:

Скористаємось формулою інтегрування по частинам :

Позначимо:

Відповідь:

Завдання 4.1

Умова:

Обчислити визначений інтеграл :

Розв'язок:

Відповідь:

Завдання 8.1

Умова:

Обчислити визначений інтеграл:

Розв'язок:

Скористаємось універсальною підстановкою:

Тоді:

Підставляємо:

Відповідь:

Завдання 9.1

Умова:

Обчислити визначений інтеграл:

Розв'язок:

Скористаємось підстановкою:

Тоді:

Підставимо:

Розкладемо правильний дріб на елементарні дроби методом невизначених коефіцієнтів:

Тоді:

Відповідь:

Завдання 10.1

Умова:

Обчислити визначений інтеграл:

Розв'язок:

Відповідь:

Завдання 11.1

Умова:

Обчислити визначений інтеграл:

Розв'язок:

Скористаюся методом підстановки :

Тоді:

Відповідь:

Завдання 12.1

Умова

Обчислити визначений інтеграл:

Розв'язок:

Заміна :

Отримуємо:

Відповідь:

Завдання 14.1

Умова:

Обчислити площу фігури, що обмежена графіками функцій:

Розв'язок:

Графік функції (див. Додаток 1)

На графіку видно, що площа між графіками складається з двох однакових частин:

Знайдемо площу частини як різницю двох інтегралів коли

Відповідь:

Завдання 15.1

Умова:

Обчислити площу фігури, обмежену лініями, що задані рівняннями:

Розв'язок:

Графік функції (див. Додаток 2)

Знайдемо точки перетину:

Оскільки функції періодичні (з періодом ), то беремо будь який відрізок довжиною . Візьмемо . Тоді:

або

на відрізку

З малюнку видно, що область симетрична відносно вісі ОХ, і її площу можна порахувати за формулою:

Відповідь:

Завдання 16.1

Умова:

Обчислити площу обмежену лініями, що задані в полярних координатах:

Розв'язок:

Побудую графік

Графік функції (див. Додаток 3 )

Оскільки полярний радіус не від'ємний, тобто

Отже графік буде складатися з трьох частин.

Другим графіком r=2 ,буде коло з центром в полюсі і радіусом 2.

Знайдемо точки перетину даних графіків в одному з секторів (див. Додаток 4)

Відповідь:

Завдання 17.1

Умова:

Обчислити довжину дуг кривих, що задані в прямокутній системі координат:

Розв'язок:

Довжина дуги кривої задана рівнянням

,

обчислюється за формулою:

Знайдемо похідну даної функції

Тоді:

Відповідь:

Завдання 18.1

Умова:

Обчислити довжину дуг кривих, що задані параметричними рівняннями.

Розв'язок:

Знайдемо похідну по t:

Відповідь:

20

Завдання 19.1

Умова:

Обчислити довжину дуг кривих, що задані рівняннями в полярних координатах.

Розв'язок:

Довжина дуги кривої, що задана рівнянням в полярних координатах, обчислюється за формулою:

Знайдемо :

Отримуємо:

Відповідь:

Завдання 20.1

Умова:

Обчислити об'єм тіл, що обмежені поверхнями.

Розв'язок:

Основа тіла - полуеліпс, в якому при , при .

Тобто:

Тому об'єм буде:

Розглянемо поверхню

Тепер розглянемо площу основи і знайдемо об'єм даного тіла:

Відповідь:

2

Завдання 21.1

Умова:

Обчислити об'єм тіл, створених обертанням фігур, що обмежені графіками фнкцій. Вісь обертання ОХ.

Розв'язок:

Графік функції (див. Додаток 5 )

Оскільки вісь ОХ є віссю обертання, то об'єм знаходиться за формулою:

Знайдемо межі інтегрування:

Знайдемо об'єм тіла:

Відповідь:

12