Geom / AnGeom_9
.pdf
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 задает плоскость.
Предположим, что A 6= 0.
Пусть (x0, y0, z0) какое-либо решение данного уравнения. Тогда Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Вычтем его из исходного уравнения, получим эквивалентное уравнение
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Рассмотрим два вектора {− } и ~ {− }.
~e = C, 0, A f = B, A, 0
Заметим, что , ~ два ненулевых вектора.
~e f
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 задает плоскость.
Предположим, что A 6= 0.
Пусть (x0, y0, z0) какое-либо решение данного уравнения. Тогда Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Вычтем его из исходного уравнения, получим эквивалентное уравнение
A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.
Рассмотрим два вектора {− } и ~ {− }.
~e = C, 0, A f = B, A, 0
Заметим, что , ~ два ненулевых вектора.
~e f
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Тогда любое решение (x, y, z) исходного уравнения определяет точку M, лежащую в плоскости, проходящей
через 0, с направляющими векторами и ~.
M ~e f
Действительно,
|
C |
0 |
|
|
|
A |
= |
|
x − x0 |
y − y0 |
|
z − z0 |
|
||
−B |
A |
|
|
|
0 |
||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −A2(x − x0) − AB(y − y0) − CA(z − z0) = −A · 0 = 0, |
|||||||
|
M M |
~e |
и |
~ |
компланарны. |
||
|
f |
||||||
следовательно, векторы −−0−→, |
|
|
|||||
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Определение.
Вектором нормали плоскости называется любой ненулевой вектор, ортогональный этой плоскости.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Следствие (геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении).
Пусть плоскость α задана общим уравнением
Ax + By + Cz + D = 0. Тогда вектор ~n = {A, B, C}
ортогонален плоскости α.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Общее уравнение плоскости
Доказательство.
Пусть M1 = (x1, y1, z1) и M2 = (x2, y2, z2) две произвольные точки плоскости α. Тогда имеют место равенства Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 и
Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0. Вычтем из одного уравнения другое, получим
A(x1 − x2) + B(y1 − y2) + C(z1 − z2) = 0.
По критерию ортогональности векторы ~n = {A, B, C} и
−−−−→
M2M1 = {x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2} ортогональны.
Т.о. вектор ~n ортогоналем любому вектору, лежащему в плоскости α, следовательно, ~n α.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Пример 1.
Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки
M1 = (1, 2, 3), M2 = (−1, 2, 0) и M3 = (2, 4, 6).
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Пример 2.
Написать уравнение координатных плоскостей.
Аналитическая геометрия. Лекция 9
Уравнение плоскости
Параметрическое уравнение плоскости Общее уравнение плоскости
Пример 3.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку M = (1, −1, 2) перпендикулярно вектору ~n = (2, 3, −2).
Аналитическая геометрия. Лекция 9