combinatoric_lectures

Следствие из теоремы Холла

Следствие

Если множеств 1, . . . , имеют СРП и наименьшее из этих множеств содержит элементов, то при ≥ существует не

!

менее ! различных СРП, а при < существует не менее !

различных СРП.

Теорема Холла (для бесконечной системы множеств)

Пусть для каждого из задано конечное множество . Система множеств 1, 2, . . . , , . . . имеет СРП тогда и только тогда, когда выполняется условие : для каждого конечного= 1, 2, . . . , и для каждой последовательности различных индексов 1, . . . , | 1 2 . . . | ≥ .

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Применение теоремы Холла

Теорема К¨eнига

Если прямоугольная матрица составлена из нулей и единиц, то минимальное число линий, которые содержат все единицы, равно максимальному числу единиц, выбранных так, чтобы никакие две из них не лежали на одной линии.

Теорема (о равномощности базисов)

В бесконечномерном векторном пространстве любые два базиса имеют одинаковую мощность.

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Латинские прямоугольники

Назовем таблицу

. . . . . . . . . . . .

1 2 . . .

латинским ( × ) прямоугольником, если каждая строка есть некоторая перестановка числе 1, 2, . . . , и в каждом столбце ни одно число не повторяется.

Вопрос:

сколькими способами можно добавить строку к латинскому ( × ) прямоугольнику, чтобы получился латинский ( × + 1) прямоугольник?

Теорема (о латинских прямоугольниках)

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей