combinatoric_lectures
.pdf
Характеристический многочлен ЛРС
Пусть ( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ) - ЛРС порядка , тогда характеристическим многочленом этого ЛРС называется
( ) = − 1 −1 − . . . − −1 − .
Лемма (О корнях характеристического многочлена)
Пусть ( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ) - ЛРС порядка и( ) - его характеристический многочлен, - корень ( ), тогда последовательность 1, , 2, . . . является решением исходного ЛРС.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Общий вид решения ЛРС |
Лекции по |
|||
комбинаторике |
||||
|
|
|
Леонид |
|
|
|
|
Шалагинов |
|
Лемма (О кратных корнях характеристического |
Множества |
|||
многочлена) |
|
|
Функции |
|
|
|
|
||
Пусть ( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ) - ЛРС порядка и |
Основные |
|||
числа |
||||
|
|
|
комбинаторные |
|
( ) - его характеристический многочлен, - корень ( ) |
Формула |
|||
кратности , тогда последовательность |
включения- |
|||
( 0 + 1 + . . . + |
|
1 −1) , = 0, 1, 2, . . . является решением |
исключения |
|
− |
Линейные |
|||
исходного ЛРС. |
|
|||
|
|
рекуррентные |
||
|
|
|
соотношения |
|
|
|
|
||
|
|
|
Системы |
|
Теорема (Общий вид решения ЛРС) |
различных |
|||
представителей |
||||
Пусть ( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ) - ЛРС порядка и
( ) - его характеристический многочлен, 1, 2, . . . , - корни
( ) кратности 1, 2, . . . , , тогда последовательность
∑( ,0 + ,1 + . . . + , −1) , = 0, 1, 2, . . . является
=1
решением исходного ЛРС.
Пример: числа Фибоначчи
Последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . ., удовлетворяющая ЛРС+2 = +1 + называется числами Фибоначчи. Найдем явную
формулу для -го числа Фибоначчи: √ |
|
|
|
|
|
|
||||
( ) = 2 − − 1,его корни 1,2 = 1±2 |
5 ,следовательно |
|||||||||
= 1 ( |
√ |
|
) |
|
( |
√ |
|
) |
|
|
1 + |
5 |
+ 2 |
1 −2 |
5 |
. |
|||||
2 |
|
|||||||||
Найдем 1 и 2 из начальных значений последовательности при
= 0, 1 - 1 + 2 = 1 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
( |
2 |
|
) + 2 |
( |
|
|
|
) |
= 1,следовательно 1, 2 = |
|
|
|
|
,в итоге |
||||||||||||
|
−2 |
|
2√5 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1+√5 |
|
1 |
|
√5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√5±1 |
|||||||
|
|
|
|
= |
√5 |
((1 +2 |
5 ) |
|
+ |
(1 −2 |
5 ) |
|
). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
+1 |
|
|
√ |
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Производящая функция последовательности
Пусть 0, 1, 2, . . . - последовательность, тогда формальный ряд
∞
( ) = ∑ называется производящей функцией исходной
=0
последовательности. Если этот ряд сходится в некотором круге радиуса > 0 к функции ( ), то эту функцию тоже называют производящей функцией последовательности.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Пример
Пример:
для какой последовательности функция (1 − 4 )− 12 будет производящей?
Решение:
воспользуемся биномиальной формулой |
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
∞ ( 1/2)( 1/2 |
− |
1) . . . ( |
− |
1/2 |
− |
+ 1) |
||
(1 − 4 )− |
2 |
= 1 + |
=1 |
− − |
|
|
|
(−4 ) |
|||
|
|
! |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
∞ |
4 (1/2)(3/2) . . . ((2 − 1)/2) |
|
|
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 !(1 3 |
|
. . . (2 |
1)) |
|
|
|
|
||||
|
=0 |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
= 1 + ∞ |
|
· |
· |
|
· − |
|
|
|
|
|||
(2 4 . . . |
|
2· )(1 3 |
|
1)) |
||||||||
|
∑ |
|
. . . (2 |
|||||||||
|
=0 |
|
|
! |
! |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
∞ |
· · |
|
· |
|
|
· · |
|
· − |
|
= 1 + |
|
∑ |
|
|
|
|
! · ! |
|
|
|
||||
есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
эта функция является производящей для последовательности 2 .
∞
∑ . То
2
=0
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Операции над производящими функциями
Если ( ) и ( ) производящие функции последовательностей0, 1, 2, . . . и 0, 1, 2, . . . соответственно, то естественным образом определяются операции:
|
|
|
∞ |
1. |
Умножение на константу - ( ) = |
. |
|
|
|
|
=0 |
|
∞ |
∑ |
|
2. |
Сложение - ( ) + ( ) = |
( + ) . |
|
|
=0 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
∞ |
|
|
3. |
Умножение - ( ) ( ) = ∑ |
( ) , где = ∑ − . |
|
=0 =0
Пример применения:
|
|
|
− |
|
|
|
∑ |
|
|
||
Для любого справедливо тождество |
2 2 −2 |
= 4 . |
|||
=0 |
|||||
|
|
|
|
||
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Производящие функции ЛРП
Теорема (о производящей функции ЛРП)
Пусть ( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ) - ЛРС, задающее последовательность, тогда его производящая функция равна
( )
( ) = 1 − 1 − . . . − , где ( ) - фиксированный многочлен степени < , определяемый начальными значениями.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Числа Каталана
Число способов вычисления не ассоциативного произведения множителей называется числом Каталана .
удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению
= 1 −1 + 2 −2 + . . . + −1 1 и 2 = 1.
Запишем производящую функцию этой последовательности
( ) = 1 + 2 2 + . . . + + . . . и положим 1 = 1, тогда вычислим:
2( ) =
12 2 + ( 1 2 + 2 1) 3 + . . . + ( 1 −1 + 2 −2 + . . . + −1 1) + . . .
= 2( ) = 2 2 + 3 3 + . . . + + . . . = ( ) − 1 , имеем уравнение 2( ) − ( ) + = 0, решим его относительно
( ),
√
1 ± 1 − 4
получим ( ) = ,
2
1
тогда = 2 .
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Постановка задачи
Даны 5 множеств:
1 = {1, 2, 3},2 = {1, 2, 4},3 = {1, 2, 5},4 = {3, 4, 5, 6},5 = {3, 4, 5, 6}.
Выбрать 5 различных чисел 1, 2, 3, 4, 5, чтобы . Такая система чисел называется системой различных представителей (СРП).
В качестве решения можно взять, например, такие пять элементов 1, 2, 5, 4, 3.
Но для следующей системы множеств решения не существует
1 = {1, 2},2 = {1, 2},3 = {1, 2}.
Задача
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
найти необходимое и достаточное условие существования решения этой задачи.
Теорема Холла
Теорема
Пусть - конечное множество индексов, = {1, 2, . . . , }, и, для каждого . Необходимым и достаточным условием
существования различных представителей , = 1, 2, . . . , ,̸= при ̸= , является условие : для каждого= 1, 2, . . . , и для каждой последовательности различных индексов 1, . . . , | 1 2 . . . | ≥ .
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей