combinatoric_lectures
.pdf
Число размещений и перестановок
Пусть - множество мощности > 0 и - множество мощности 0 < ≤ . Тогда число инъективных отображений из множествав множество называется числом размещений из по и обозначается .
Пример:
Сколько существует десятичных чисел < 105, все цифры в которых различны?
Решение:
Пусть множество = {0, 1, 2, . . . , 9} и = { 1, 2, 3, 4, 5}, где- -й разряд искомого числа. Тогда каждое число будет соответствовать инъективному отображению из в . Значит количество чисел равно 510.
Теорема о числе размещений
|
! |
= ( − 1)( − 2) . . . ( − + 1) |
|
= |
|
|
|
( − )! |
|||
Следствие о числе перестановок
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Число перестановок множества из элементов равно = !.
Число сочетаний
Теорема о числе сочетаний
|
|
! |
|
= |
|
!( − )! |
Теорема (биномиальная формула)
(1 + ) = ∑
=0
Теорема (свойства числа сочетаний)
1.= − ,
2. |
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
= 0, |
|
|
|
|
=0(−1) |
|
|
|
|
|||
|
∑ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
4. |
(свертка Вандермонда) + = |
|
|
, ≥ , ≥ . |
|||
=0 |
|||||||
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Мультимножества
Пусть - множество мощности и : → N {0} и
∑
( ) = . Пара ( , ) называется мультимножеством
мощности над множеством . Значение ( ) называется кратностью элемента в мультимножестве. Мультимножество
( 1) |
( 2) |
( ) |
}. |
может быть записано так: { 1 |
, 2 |
, . . . , |
Число различных мультимножеств мощности над множеством мощности будем называть числом сочетаний с повторениями
и обозначать .
Теорема о числе мультимножеств
= + −1.
Пример:
сколько существует 15-значных чисел, цифры в которых не возрастают.
Решение:
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
сопоставим каждому числу мультимножество {0 0 , 1 1 , . . . , 9 9 }, тогда всего чисел будет 10+1515 −1 = 249 .
Полиномиальные коэффициенты
Число упорядоченных разбиений множества мощности на подмножеств мощностей 1, 2, . . . , называется
полиномиальным коэффициентом и обозначается 1,..., .
Теорема о числе перестановок мультимножества
Число перестановок мультимножества |
|
|
1 |
, |
2 |
, . . . , |
|
равно |
|||
{ |
1 |
2 |
} |
||||||||
1 |
,..., |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема о полиномиальных коэффициентах
1,..., |
|
! |
|
|
= |
|
. |
1!... ! |
|||
Пример:
сколько различных слов можно составить из букв слова ”абракадабра”.
Решение:
сопоставим этому слову мультимножество {a5, б2, р2, к1, д1}. Тогда число его перестановок 115,2,2,1,1 и будет решением задачи.
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Свойства полиномиальных коэффициентов
Теорема (полиномиальная формула)
|
1+...∑ |
|
1,..., |
1 |
|
|
|
1 |
. . . . |
||
( 1 + 2 + . . . + ) = |
|
||||
|
+ |
|
= |
|
|
Теорема о сумме полиномиальных коэффициентов
1+...∑ |
|
1,..., |
|
|
|
= . |
|||
|
|
|||
+ |
|
= |
|
Замечание:
число произвольных отображений из множества мощности в множество мощности равно .
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Задачи на выборку элементов
Основные варианты
Пусть - множество мощности и из него надо выбрать элементов рассмотрим 4 варианта:
1.Выборка упорядоченная, возможны повторения - используем формулу .
2.Выборка упорядоченная, без повторений - используем формулу .
3.Выборка не упорядоченная, возможны повторения -
используем формулу .
4.Выборка не упорядоченная, без повторений - используем формулу .
Задачи:
IСколько способов выбрать 5 карт из колоды?
IСколько векторов в 4-х мерном пространстве над полем 5?
IСколько способов образовать тройку призеров соревнований из 10 участников?
IСколько способов выбрать 8 животных 4-х различных видов?
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Применение формулы включения-исключения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
=1 | = |
=1(−1) −1 |
|
1 |
, |
,..., |
| |
=1 |. |
|
|
∑ |
|
|
∑2 |
|
|
называется формулой включения-исключения.
Перестановка называется беспорядком, если ( ) ̸= для
[1, . . . , ].
Теорема (о числе беспорядков)
|
∑ |
|
Число беспорядков в равно ! |
|
(−1) |
|
=0 |
! |
|
|
Теорема (о числе сюрьекций)
Пусть , - множества, | | = , | | = , тогда число
сюрьективных отображений из в равно
Sur = ∑ (−1) ( − ) .
=0
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Числа Стирлинга 2-го рода и числа Белла
Пусть - множество мощности > 0 и > 0, тогда число неупорядоченных разбиений множества , на подмножеств(блоков) называется числом Стирлинга 2-го рода и обозначается .
Теорема (рекуррентное соотношение для чисел )
|
= −1 |
+ |
|
−1 |
−1 |
Пусть - множество мощности > 0, тогда число всех
неупорядоченных разбиений множества называется числом
Белла и обозначается , т.е. = ∑ .
=0
Теорема (рекуррентное соотношение для чисел Белла)
−1
= ∑ − − −1.1
=0
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Формулы для чисел Стирлинга 2-го рода
Теорема 1 (о числах Стирлинга 2-го рода)
|
1 |
1+...∑ |
|
,..., |
|
= |
|
1 |
. |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
||
+ =
Теорема 2 (о числах Стирлинга 2-го рода)
= 1! ∑(−1) ( − ) .
=0
Лекции по комбинаторике
Леонид
Шалагинов
Множества
Функции
Основные
комбинаторные
числа
Формула включенияисключения
Линейные
рекуррентные
соотношения
Системы
различных
представителей
Линейные рекуррентные соотношения |
Лекции по |
|
комбинаторике |
||
|
Леонид |
|
Пусть : N {0} → R, соотношение вида |
Шалагинов |
|
Множества |
||
( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ), где R называется |
||
Функции |
||
|
||
линейным рекуррентным соотношением (ЛРС) порядка . |
Основные |
|
|
комбинаторные |
|
Бесконечная последовательность 0, 1, 2, . . . называется |
числа |
|
Формула |
||
решением линейного рекуррентного соотношения |
||
включения- |
||
( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ), если при подстановке в |
Линейные |
|
|
исключения |
|
него ( ) = это соотношение превращается в тождество при |
рекуррентные |
|
любом . Такая последовательность называется линейной |
||
соотношения |
||
рекуррентной последовательностью (ЛРП). |
Системы |
|
|
различных |
|
|
представителей |
Лемма (О линейности решений ЛРС)
Пусть ( + ) = 1 ( + − 1) + . . . + ( ) - ЛРС порядка и0, 1, 2, . . . и 0, 1, 2, . . . его решения, тогда , R последовательность 0 + 0, 1 + 1, 2 + 2, . . . тоже является решением этого ЛРС.