combinatoric_lectures

Лекции по комбинаторике

Леонид Шалагинов

Челябинский государственный университет

2 сентября 2014 г.

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Понятие множества

Понятие множества первично в математике, его нельзя определить через другие понятия.

Элементы множества определены и различны, а само множество мыслится нами как единое целое. Множество полностью определяется набором своих элементов.

Два множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Мощностью | | множества называется количество элементов в нем. Множества могут быть конечными и бесконечными.

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Способы задания множества

1.Перечислением элементов: { 1, 2, 5};

{Вася, Петя, Таня, Гриша}.

2.Указанием признака: четные числа - { | %2 = 0};

блондины - {мужчина | имеющий белые волосы}; пары взаимно простых чисел - {{ , }| ( , ) = 1}; пары простых чисел близнецов {( , )| , - простые,

= + 2}.

3.По индукции (рекурсивно):

множество потомков - , дети , если , то его дети

;

множество арифметических выражений - X, символы переменных , если , , то

( + ), ( − ), ( ), ( ÷ ) .

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Часто используемые множества

N = {1, 2, 3, . . .} - множество натуральных чисел.

Z = {0, ±1, ±2, . . .} - множество целых чисел.

Q = { | , } - множество рациональных чисел.

R - множество рациональных чисел.

называется подмножеством множества ( ), если

, .

называется собственным подмножеством множества

( ), если и ̸= .

2 = { | } - множество всех подмножеств (булеан) множества .

- пустое множество (не содержащее элементов).

Универсальное множество - множество всех элементов, используемых в данном рассуждении.

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Операции над множествами

1.= { | или } - объединение.

2.∩ = { | и } - пересечение.

3.= { | и / } - разность.

4.= - дополнение, определено только при определенности универсального множества .

5.× = {( , )| , } - прямое (декартово) произведение.

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Свойства операций над множествами

Теорема о свойствах операций

1.= и ∩ = ∩ ,

2.( ) = ( ) ∩ и ( ∩ ) = ( ∩ ) ∩ ,

3.( ∩ ) = ( ∩ ) ( ∩ ), и∩ ( ) = ( ) ∩ ( ),

4.= ∩ , и ∩ = ,

5.∩ = , и = ,

6.= .

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Характеристическая функция

Пусть , тогда характеристической функцией подмножества называется функция : → {0, 1}, заданная

{

Теорема о свойствах характеристической функции

Пусть , , тогда справедливы следующие равенства:

1.∩ ( ) = ( ) ( ),

2.( ) = 1 − ( ),

3.( ) = ( ) + ( ) − ( ) ( ),

∑

4.( ) = | |.

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей

Правила суммы и произведения

Пусть для каждого , . Если = , то

совокупность { | }, называется покрытием множества .

Покрытие { | } множества называется разбиением, если

̸= , ∩ = .

Теорема (Правило суммы)

Мощность объединения попарно непересекающихся множеств

Теорема (Правило произведения)

Лекции по комбинаторике

Леонид

Шалагинов

Множества

Функции

Основные

комбинаторные

числа

Формула включенияисключения

Линейные

рекуррентные

соотношения

Системы

различных

представителей