![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
§ 110. Касательная к эллипсу
Уравнение
касательной в неособой точке
к линии, заданной неявным уравнением
пишется в виде
,
(1)
где
и
- значения частных производных от функции
в точке
.
Для
эллипса, заданного каноническим
уравнением, уравнение касательной в
точке
лежащей на этом эллипсе имеет вид:
,
или (так
как
):
.
§ 111. Оптическое свойство эллипса
Теорема:
Касательная к эллипсу в произвольной
его точке
является биссектрисой внешнего угла
треугольника
,
имеющего своими вершинами фокусы
и
эллипса и данную точку
.
Доказательство.
Рассмотрим уравнение касательной к
эллипсу
в данной на нем точке
:
Отношение
расстояний
и
от фокусов
и
эллипса до касательной в точке
равно отношению модулей результатов
подстановки координат фокусов
и
в левую часть уравнения касательной.
Отметим,
что результаты подстановок –
и
координат фокусов
и
в левую часть уравнения касательной –
числа одного знака:
;
поэтому
оба фокуса
и
расположены по одну сторону от касательной
к эллипсу в произвольной его точке.
Обозначить
через
и
основания перпендикуляров, опущенных
из фокусов эллипса на касательную к
нему, проведенную в точке
(рис.).
Тогда
,
так как они прямоугольные и по доказанному
,
поэтому
,
следовательно, угол
равен углу
,
где точка
лежит на продолжении отрезка
за точку
.
Поэтому
касательная к эллипсу в произвольной
его точке
является биссектрисой внешнего угла
треугольника
,
имеющего своими вершинами фокусы
и
эллипса и данную точку
.
Теорема доказана.
Из этой теоремы непосредственно вытекает способ построения касательной к эллипсу в произвольной его точке.
Доказанной теореме можно дать следующую физическую интерпретацию: если поместить в один из фокусов эллипса источник света, то лучи после отражения их от эллипса соберутся в другом фокусе, так как световой луч отражается от эллипса, как от касательной, проведенной к эллипсу, в точке падения луча (см. рис.). Слово фокус по латыни означает «очаг».
Дома. Параграф 18 по Клетенику. №444-№454