Аналитическая геометрия.

Глава 9. Поверхности второго порядка, заданные каноническими уравнениями Лекция 5. § 128. Эллипсоид

Определение. Эллипсоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе координат, имеет вид: (1)

Будем считать, что . Если на эллипсоиде лежит точка, то на нём лежат и точки(с любым набором знаков плюс или минус). Отсюда следует, что для эллипсоида (1) начало координатявляется его центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и называются главными осями; плоскости координат являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями.

Если , то эллипсоид называется трёхосным.

Если , то эллипсоид называется вытянутым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса:вокруг его большей оси (См. рис. 197)

Если , то эллипсоид называется сжатым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса:вокруг его малой оси (См. рис. 198)

Рис. 198.

Если , тоэллипсоид является сферой радиусас центром в начале координат.

Вершинами трёхосного эллипсоида являются точки пересечения эллипсоида с его главными осями. Трёхосный эллипсоид имеет 6 вершин ,,.

Из уравнения (1) следует, что ,,. Это означает, что эллипсоид (1) лежит внутри прямоугольного параллелепипеда с вершинами. Каждая грань этого параллелепипеда имеет с эллипсоидом только одну общую точку - его вершину.

Плоскость пересекает эллипсоид (1) по линии, выраженной уравнениями:,или эквивалентной системой:(2)

Аналогично плоскость пересекает эллипсоид (1) по линии, уравнения которой:,, (3) а плоскостьпо линии:,. (4)

Линии (2), (3), (4) суть эллипсы. Эти эллипсы, т.е. сечения эллипсоида (1) его главными плоскостями, называются главными сечениями.

Рассмотрим сечения эллипсоида какими-нибудь координатными плоскостями, например плоскостями, параллельными плоскости , т.е. плоскостями, выраженными уравнением, где- произвольное действительное число. В таком случае, уравнения линии сечения имеют вид:,, или,, или:(5) Если, то первому уравнению системы (5) не удовлетворяет ни одна пара действительных чиселт.е. система (5) не имеет действительных решений. это означает, что плоскостьприне пересекает эллипсоид (1).

При первое уравнение системы (5) имеет вид:, откуда. Таким образом, плоскостивстречают эллипсоид (1) в его вершинах. Наконец, если, то систему уравнений (5), выражающих линию сечения, можно переписать так:,.

Или: ,.

Эти уравнения являются уравнения эллипса, лежащего в плоскости сечения ; центр этого эллипса - точка, оси симметрии параллельны осями, а полуоси равны:,. Таким образом, любое сечение эллипсоида плоскостями, параллельными координатным, дают в сечении эллипс.

Отметим, что эллипсоид (1) может быть получен из сферы , если провести 3 равномерных сжатия:;;к трём попарно перпендикулярным плоскостям.

§ 129. Однополостный гиперболоид

Определение. Однополостным гиперболоидом на-зывается поверхность, уравнение которой в некоторой специально выбранной прямоугольной системе коор-динат, имеет вид: (6)

Будем считать, что . Также как и в преды-дущем параграфе доказывается, что для однополостного гиперболоида (6) начало координат является центром симметрии (центр однополостного гиперболоида). Оси координат являются осями симметрии (главные оси), а координатные плоскости - плоскостями симметрии (главные плоскости) (См. рис. 200).

Рис. 200.

Если в уравнении (6) , то однополостный гиперболоид (6) называется однополостным гиперболоидом вращения, так как может быть получен вращением гиперболывокруг мнимой оси (См. рис. 200).

Вершинами однополостного гиперболоида называ-ются точки пересечения гиперболоида с его главными осями. Гиперболоид (6) в случае имеет 4 вершины;.

Плоскость пересекает однополостный гипер-болоид (6) по эллипсу, выраженному уравнениями:

, , называемому горловым эллипсом однополостного гиперболоида (6). Плоскостьпересекает однополостный гиперболоид (6) по гипер-боле, выраженной уравнениями:,.

А плоскость пересекает однополостный гиперболоид (6) по гиперболе, выраженной уравнениями:,.

Рассмотрим сечения однополостного гиперболоида (6) плоскостями, параллельными координатной плоскости , т.е. плоскостями. Уравнения линии сечения будут:;. Эта система уравнений эквивалентна следующей системе:;или

; .

Этими уравнениям выражается эллипс с полуосями ,с центром на осив точкеи осями, параллельными соответственно осями. из выражений,следует, что,, т.е. горловой эллипс является наименьшим из всех эллипсов, по которым однополостный гиперболоид (6) рассекается плоскостями, параллельными плоскости.

Плоскость , параллельная плоскости, пересекает однополостный гиперболоид (6) по линии, выражаемой уравнениями:;. Или;.

Если , то этими уравнениями определяется гипербола с центром в точке, лежащая в плоскости, действительная ось которой параллельна оси, а мнимая - оси. Полуоси этой гиперболы:(действительная полуось),- (мнимая полуось).

Если , то уравнения линии сечения имеет

вид: ;. Уравнения;являются уравнениями двух пересекающихся прямыхи:,- прямая;,- прямая.

Аналогично уравнения ;являются уравнениями двух пересекающихся прямых:,и,.

Если , то в сечении получается гипербола, уравнения которой:;.

Действительная ось этой гиперболы параллельна оси , мнимая - оси, центр лежит в точке.

Асимптоты всех гипербол, получающихся при пересечении однополостного гиперболоида (6) плоскостями ,параллельны прямым, получающимся при пересечении гиперболоида плоскостями.

Сечения плоскостями , параллельными плоскостианалогичны рассматриваемым. Все эти сечения дают представление о форме поверхности однополостного гиперболоида (См. рис. 201).

Рис. 201.

Всякий однополостный гиперболоид можно получить из однополостного гиперболоида вращения: ,производя равномерное сжатие.,к плоскости. Однополостный гиперболоид (6) можно получить из равностороннего гиперболоида вращения:

, производя равномерные сжатия ,,соответственно к плоскостям,ис коэффициентами сжатия.