![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
§ 104. Директрисы эллипса
Две
прямые, перпендикулярные оси эллипса,
на которой расположены его фокусы, и
отстоящие от центра эллипса на расстоянии
,
где
а
- большая
полуось эллипса, а
е
- его
эксцентриситет, называются директрисами
эллипса.
Окружность,
для которой е
= 0 не имеет директрис
т.е. понятие директрис дается только
для эллипса.
Если
эллипс задан каноническим уравнением,
причем
(т.е. фокусы расположены на оси Ох)
то уравнения директрис имеют вид:
Так как
;
то
,
и, значит, директрисы эллипса отстоят
от его центра дальше, чем вершины (см.
рис.). Фокус и директриса эллипса,
расположенные по одну сторону от меньшей
оси эллипса, называются соответствующими
друг другу.
Таким
образом, фокусы
соответствует
директриса
,
а фокусу
- директриса
.
Теорема. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса эллипса к расстоянию от той же точки до директрисы, соответствующей рассматриваемому фокусу, было равно эксцентриситету эллипса.
Доказательство:
Необходимость. Рассмотрим, например,
фокус
и соответствующую ему директрису
.
Расстояние
от точкиМ(х,
у)
до
фокуса
вычисляется по формуле
.
Расстояние
от той же точкиМ(х,
у)
эллипса до прямой
вычисляется по формуле
.
Итак:
.
Отсюда
Теорема доказана.
Аналогично
доказывается, что
,
где
,
есть расстояние от точкиМ
до фокуса
,
а
- расстояние от той же точки до директрисы
,
соответствующей фокусу
.
Доказательство достаточности.
Возьмем
каноническое уравнение эллипса, где a
>
b.
Рассмотрим, например, фокус
этого эллипса и соответствующую ему
директрису
.
Пусть М(х, у) такая точка, что
,
где
- расстояние от точкиМ
до фокуса
,
а
- расстояние от точкиМ
до директрисы
.
Докажем, что точка М(х,у) лежит на эллипсе.
В самом деле, т.к.
;
,
то из соотношения
или
,
находим:
Упрощая
это уравнение, получим
.
А это означает, что точкаМ(х,
у)
ежит на эллипсе.
Расстояние m от фокуса эллипса до его директрисы равно
,
а эксцентриситет определяется формулой:
.
Из
этих соотношений находим
Отсюда
следует, что если на плоскости задана
произвольно точка
,
прямая, не проходящая через эту точку
(отстоящая от точки
на расстоянии
)
и задано произвольное положительное
число е,
меньшее 1, то существует эллипс, для
которого точка
- фокус, заданная прямая – директриса,
ае
-
эксцентриситет. Центр этого эллипса
находится на расстоянии
от точки
(по одну сторону с точкой
от данной прямой), а большая полуось
Отсюда
и из только что доказанной теоремы
следует, что эллипс можно определить
как геометрическое место точек, для
каждой из которых отношение расстояния
от данной точки
к расстоянию до данной прямой
,
не проходящей через точку
,
равно данному положительному числу,
меньшему 1.
Исключением является окружность, которая данным свойством не обладает.
§ 106. Параметрические уравнения эллипса
Пусть
дан эллипс каноническим уравнением
.
(1)
Рассмотрим окружность
,
(2)
которая переходит в данный эллипс в результате сжатия
(3)
Пусть
М(х,
у)
– произвольная точка данного эллипса,
- ее образ на окружности. Обозначим через
угол от положительного направления осиОх
до луча ОР.
Тогда
и, следовательно,
.
Уравнения
И являются параметрическими уравнениями эллипса.
Параметр
называется эксцентрическим углом точки
эллипса. Если задана точка
эллипса,
то для нахождения
надо построить
окружность на большей оси эллипса как
на диаметре и через точку М
провести прямую, параллельную малой
оси эллипса.
Точка
пересечения этой прямой с окружностью,
лежащая по ту же сторону от большей оси
эллипса, что и точкаМ,
является прообразом точки М(х,у)
при равномерном сжатии
Угол от осиОх
до луча ОР
и являются эксцентрическим углом
,
соответствующим взятой точкиМ
на эллипсе (см. рис.).