1. Розподіл Фермі-Дірака для електронів. Енергія Фермі.

Розглянемо ідеальний Фермі-газ, який складаеться з невзаемодіючих електронів. Будемо вважаті також, що електроні не взаемодіють з граткою. Для такого ідеального електроного газу діє формула розподілу електронів Фермі:

Зміст фунції: визначення вірогідності того, що у ансамблі електронів знайдеться електрон з енергіей Е при температурі Т.

Де – химический потенциал, який представляе собою енергію Гіббса,яка приходиться на одну частинку.

Т – температура

визначаеться з умови, що повна кількість електронів у системі дорівнюе N:

V – обем у К-просторі, який приходиться на один. стан.

Вигляд функці\ Фермі-Дірака при Т = 0

Перейдемо до сверічніх коордінат і запишемо інтеграл

d³p=4πp² dp

Розраховуючи інтеграл отримаемо граничній імпульс:

–граничний імпульс Фермі не залежить від масси єлектрона і така ситуація зберігаеться навіть при врахуванні взаемодіїміж між єлектронами.

Енергія електрона(енергія Фермі)

Усі стани при Т=0 менші єнергії Фермі зайняті, а вищі – пусті.

Зявляеться шар електронів над поверхнею Фермі. У провідності напівпровідників приймае участь шар єлектронів вищі енергії Фермі.

Температурна залежність хімічного потенціалу визначаеться по формулі:

При зростанні температури хімічний потенціал зменшуеться. При Тхімічний потенціалстае відємним

18.Основні принципи мікроскопічної теоріі:

1)між єлектронами надпровідника має місце притягнення в наслідок коливання кристалічної градки.

2)Електрони поблизу рівня Фермі можуть утворювати зв’язні стани – куперовські пари.

А)Фрьоліх довів, що електрони можуть притягуватися одне до одного у 1939р.

Нехай є 2 електрони з квазіімпульсами і, спінами, то вони можуть взаємодіяти з кристал. градки , після цьогопереходить в стан,а в.

Поведінка електронів у кристалі з квазіімпульсами і.

Електрони можуть взаємодіяти з фононами з імпульсом q

І етап є 2 електрони з і.

ІІ етап ,q,.

ІІІ етап 2 електрони в станах і

Розглянемо поляризовану градку в околі електронів.

Градка більш інерційна,ніж електрон підсистеми.

1 електрон поляризує градку, а 2 притягується до цієї поляризації і виходить так ніби 1 електрон притягується до іншого.

Матричний елемент взаємодії електронів:

- частота яка відповідає різниці енергії в початковому і кінцевому стані.

Знак «-» обумовлений появою притягнення.

Приятяжіння замінює відштовхуваність і утвоює куперівські пари.

І стан: к₁ і к₂ і (проміжковий стан) ,.

II стан кінцевий і

З урахуванням притягнення і кулонівського відштовхування,сумарний матричний елемент такої взаємодії:

,де – фрьоліховський елемент, x–величина зворотня до радіусу дебаївського екранування.

Якщо цей процес явл. пружним, то .

Маємо притяжнення у чистому вигляді

Б) Куперівські пари

У 1956р. показав, що електрони поблизу поверхні Фермі можуть створювати пари при скіль завгодно малої взаємодії.Такі пари мають спін 0 або 1 і наз. бозонами.

Розрахуємо енергію такої пари:

Хвильву функцію шукали у вигляді:

Згідно з принципом Паулі , якщо .

–енергія куперівської пари, що відраховується від енергії Фермі.

–енергія одного електрона, що відраховується від енергії Фермі.

Вирішуємо рівняння і отримуємо:

,

, –плотность електронних состояний на ур. Фермі.

Якщо «-», то має місце притягування і максимальне притягування куперівських пар буде для тв. водорода

т.я. і чим вище т-ра.

Однак в реальному п/п багато куперівських пар.

19. Мікроскопічна теорія Бардіна-Купера-ш. Рівняння бкш для щілини та його нетривіальне рішення.

Для рішення задачі о системі купера враховують БШК використовують метод вторинного квантування()

рівняння БШК для щілини

- одинична щілина,яка утворюется при переході в надпровідній стан.

Рішення:

1)

2)

Частка електронів, які можуть зв’язувати в пари,визначается єлек.

-кількість єлек. які створюють пари.

13. Фонони кристалічної гратки, їх характеристики.

Фонон – квант коливального поля(живе тільки у гратці).

Фонону у кристалі відповідає квазіімпульс ? Але оскільки кристал обмежений, то в ньому існують стоячі хвилі, тобто в умовах термодинамічної рівноваги не відбувається переносу імпульсу. Якщо кристал збуджувати, то зявляються хвилі, які переносять енергію та імпульс.

Вираз для квантового осцилятора:

Е =

Фонони – бозони з нульовим спіном, які підкоряються статистиці Бозе – Ейнштейна:

Хімічний потенціал 𝝃, 𝝃=0.

Кількість фононів у стані з частотою wпри температурі Т описується розподілом Бозе-Ейнштейна.

Характеристики фононів:

1.кількість станів фононів, які мають частоту в інтервалі w;w+dw

2.кількість фононів у відповідному інтервалі частот

3.енергія фононів у відповідному інтервалі частот

4.повна кількість фононів у кристалі при температурі Т

Якщо позначити , то

5.сумарна внутрішня енергія кристала

Розглянемо кількість фононів при різних співвідношеннях:

Резюме:

1. Т=0К – вакуум фононів

2. Т- ідеальний газ фононів(не взаємодіють)

3. Т>>- неідеальний газ фононів, які взаємодіють

23. Модель Ейнштейна(1911р)

Припущення:

1.Вважав, що для діелектричнихнапівпровідників теплоємністьдає динаміка кристалічн. решітки. Не враховує акустичної гілки дисперсії.

!!!!!Использовать для сравнения!!!!

2. енергія одного атомного осцилятора,= const

3. – дисперсія

4.

–середня енергія одного осцилятора.

Знайдено значення середньої енергії осцилятора у випадку високих і низьких температур.

1. ->

–високі температури

2. 

–низькі температури

Загальний випадок:

–температура Ейнштейна.

10. Коливання лінійного ланцюжка атомів різного сорту;

Силові сталі будемо вважати однаковими по обидві частинки атома.

М>>m

Виберемо 2 атоми і позначимо амплітуди їх коливань

Рішення у вигляді:

Якщо підставити рішення у систему отримаємо систему алгебраїчних рівнянь

Рішення системи буде не тривіальним,коли детермінант системи=0

Отримаємо з-н дисперсії:

Розглянемо q=0

Розглянемо

Розкладемо корінь у ряд ы обмежимося першим ы другим членами.

Для малих q має лінійну залежність.

Нехай ,

Розглянемо випадок ∞ довгих хвиль

а)

б) нескінченно коротких

Підставимо значення частот для(вип.а) у систему алгебраїчних р-нь (у сис. а) і отримаємо для акустичної гілки(коли ω=0).

У загальному 3D випадку:

S-кількість ат. у примітивній комірці кристалу.

У кристалі без центру симетрії пружні оптичні хвилі створюють поляризацію і ел. поле які змінюються у часі і просторі відповідно до руху атомів.

Коли коливання народжує поперечну хвилю поляриз.поле=0

Для повздовжніх хвиль поле ≠0

Частоти повздовжніх коливань більші за частоти поперечних.

Можуть утв збудження, які мають частково механічну, а частково електричну природу, які назив фоновими поляритонами.З’являються гібридні утворення –поляритони.