Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika / Математика. Сборник заданий, часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Часть 2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие

Череповец

2012

Рассмотрено на заседании кафедры математики, протокол № 10 от 22.05.12 г. Одобрено редакционной комиссией Факультета общих математических и есте-

ственнонаучных дисциплин ЧГУ, протокол № 3 от 29.05.12 г.

Составители: Т.В. Гордобаева, Г.А. Киселёва, С.А. Парыгина, Н.В. Плотникова, И.А. Сенатова

Рецензенты: О.А. Кашинцева, канд. техн. наук, доцент; В.А. Окунева, канд. физ.-мат. наук, доцент

Научный редактор: А.В. Толстиков, канд. физ.-мат. наук, проф.

дарственный университет», 2012

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие подготовлено для студентов первого курса различных направлений подготовки бакалавриата и специалитета. Пособие состоит из трех частей, охватывающих такие разделы дисциплины «Математика», как «Введение в дискретную математику», «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» и «Введение в математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной».

Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов по указанным разделам дисциплины «Математика» и рекомендуется для использования в рейтинговой оценке успеваемости студентов.

Часть 2 «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» состоит из двух тем. По теме «Линейная алгебра» студентам предлагаются задания на:

–выполнение операций над матрицами;

–вычисление определителя;

–нахождение ранга матрицы;

–решение систем линейных уравнений различными способами;

–использование методов векторной алгебры для решения геометрических задач.

По теме «Аналитическая геометрия» – задания на:

–составление уравнений прямой на плоскости и в пространстве, уравнения плоскости;

–вычисление расстояния от точки до прямой и от точки до плоскости;

–построение линий и поверхностей второго порядка.

1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1Матрицы и определители

Задание 1.1.1. Даны матрицы:

	2 −1		3		−4		−1 0			−4		3 2
A =			−2						C =			−1 0
A =		0 4	−2	,	B =	2	1 −1 ,		C =		5	−1 0	,
		3 −2	1			5					−7	2 1
		3 −2	1			5	1 −3				−7	2 1
Номер			Вычислить					Номер				Вычислить
варианта			Вычислить					варианта				Вычислить
варианта								варианта

1			BA – 7C + D					16				D + 3B – 2CA

2			B + CD – 3A					17				– 5A + BC + 4D

3			– C – 4DA + B					18				B + 4DB – 7A

4			D + A – 2BC					19				– DC – 2A + 5B

5			– 3BA + C – 2D					20				7D – 5A – CB

6			4B + 3DC – A					21				– B + 4AC – 6D

7			D – 5A + 2CB					22				2B – 7C – AD

8			DA + B – 3C					23				– 3C – 2BD + A

9			– 2AC + D + 5B					24				D + 7CA – B

10			B – 7C + 3AD					25				2A + 5BC – D

11			– CD – 3A + B					26				– 3B – 4C – DA

12			D + 4BA – 5C					27				3CD – A + 6B

13			2AB + C – 7D					28				– 2 D – 5AB + C

14			3BD + A – C					29				B – AC + 7D

15			– C – DB + 4A					30				4C – 4BD – A

Примерный вариант

Вычислить: AB – 2C +3D.

Решение.

		2 × (-4) + (-1) × 2 + 3×5				2 × (-1) + (-1) ×1+ 3×1 2 ×0 + (-1) × (-1) + 3× (-3)
A × B =			0 ×(-4) + 4 × 2 + (-2) ×5 0 ×(-1) + 4 ×1+ (-2) ×1 0 × 0 + 4 × (-1) + (-2) × (-3)				=
A × B =							=
			3× (-4) + (-2) × 2 +1×5 3× (-1) + (-2) ×1+1×1 3×0 + (-2) × (-1) +1× (-3)

	5		0	-8
=	-2
=	-2		2	2	,
	-11		-4	-1
	-11		-4	-1


	-2 × (-4)		-2 ×3	-2 × 2					8	-6	-4
-2C =		-2 ×5	-2 × (-1) -2 × 0				=		-10	2	0	,
-2C =		-2 ×5	-2 × (-1) -2 × 0				=		-10	2	0	,
		-2 × (-7)	-2 × 2	-2 ×1					14	-4	-2
		-2 × (-7)	-2 × 2	-2 ×1					14	-4	-2
		3 × 0	3 × 2 3 ×1		0				6	3
3D =		× (-3) 3	× (-1) 3 ×5			-9			-3
3D =	3	× (-3) 3	× (-1) 3 ×5		=	-9			-3	15	,
		3 ×1 3	× (-4) 3 × 2			3		-12		6
		3 ×1 3	× (-4) 3 × 2			3		-12		6

	5 + 8 + 0	0 - 6 + 6	-8 - 4 + 3		13		0	-9
AB - 2C + 3D =	-2 -10 - 9	2 + 2 - 3	2 + 0 +15	=		-21
							1	17	.
	-11 +14 + 3	-4 - 4 -12 -1 - 2 + 6				6	-20 3

Задание 1.1.2. Дана матрица A. Вычислить определитель матрицы A двумя способами:

1)по правилу треугольников;

2)с помощью разложения по первой строке для вариантов 1 – 5; по второй строке для вариантов 6 – 10; по третьей строке для вариантов 11 – 15; по первому столбцу для вариантов 16 – 20; по второму столбцу для вариантов 21 – 25; по третьему столбцу для вариан-

тов 26 – 30.

Номер	Матрица A			Номер	Матрица A
варианта	Матрица A			варианта	Матрица A
варианта				варианта

1		2		3			4

	−6	4	3			1	−2	3
1				2		2	3 −4
1	3 −2 −1			2		2	3 −4
	11	−7	−5			3	−2	−5
	11	−7	−5			3	−2	−5

Продолжение

1						2			3						4

					2	−1	1					3			−1	2
3					3	2 2			12			2 3
																−5
					1	−2	1					1			1	1

		6				4	−23							2	3	2
4		−2				−1		7	13					1 2		−3

		−1				−1		5						3 4		1

				1		2	2					2			5	7
5				2					14			6 3				4
						1 −2
				2		−2	1					5			−1
																−3
					2	−1	3						3		2	−1

6					3	−5	1		15				2		−1	3

					4	−7	0						1		1
																−1
	−2					1		5						2	3	5
7		5				−2			16					3	7	4
							−11
		3				−1 −7								1 2		2

					2	7	3							2	−1	1
8					3	9 4			17					3 2		2

					1	5	3							1	−2	1

				1		2	3			−8					29	−11
9				2		−1			18		−5				18	−7
							−1
				1		3	4				1				−3		1

					2	2	3							3	2	1
10					1	−1 0			19					4 5		2

				−1		2	1							2	1	4

			3			−4	5							2	−4	3
11			2			−3	1		20					1	−2	4

			3											3	−1	5
						−5 −1

Окончание

1			2			3				4

	1		−1		1				2	7	3
21	−38		41	−34		26			3	9	4

	27		−29	24					1	5	3

		5	−6	4			−1			1	−2
22		3	−3 2			27			2	3	1

		4	−5	2					2	1	2

		5	6	3				1		−2	1
23		2	−1 2			28		3		1 1

		7	4	5				−1		1		2

	12		6	1					3	2	1
24			16	7		29			1	2	0
	19
		0	1	1					0	1	2

		4	−3	2					2	2	3
25		6	−2	3		30				1	0
							−1
		5	−3	2					2	−1	1

Примерный вариант
		2	3	4
Вычислить определитель матрицы	A =	5	−2	1	двумя спо-
Вычислить определитель матрицы	A =	5	−2	1	двумя спо-
		1	2	3
		1	2	3

собами:

1)по правилу треугольников;

2)с помощью разложения по первой строке.

Решение.

1) вычислим определитель по правилу треугольников:

2	3	4
5	-2 1		= 2 × (-2) ×3 + 5 × 2 × 4 + 3 ×1×1 - (1× (-2) × 4 + 2 ×1× 2 + 5 ×3 ×3) =
1	2	3
= -12		+ 40 + 3 - (-8 + 4 + 45) = 31 - 41 = -10.

2) вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

2	3	4	1+1	-2 1		1+2	5	1		1+3	5	-2

5	-2 1								+				=
			= 2 × (-1)	2	3	+ 3 × (-1)	1	3		4 × (-1)	1	2
1	2	3

= 2(-6 - 2) - 3(15 -1) + 4(10 + 2) = -16 - 42 + 48 = -10.

Задание 1.1.3. Найти ранг матрицы.

Номер					Матрица					Номер			Матрица
варианта					Матрица					варианта			Матрица
варианта										варианта

1						2				3				4

				1	3	2	−1	2				1	1	1	1	0
				1	3	2	−1	2
				−1 1		1 0 1						1	1 −1 −1 −1
1				−1 1		1 0 1				4		2	2 0 0 −1
				1	0	0	2	0
					4	3	−1					1	1	5	5	2
			0		4	3	−1	3					−1	−1	0
											1		−1	−1	0	0
		1			7	−6	4		2			1	1	0	1	0
		1			7	−6	4		2
		3 2				−1	3 1					2	1	1	0	2
2		3 2				−1	3 1			5		1	1 0		0	1
		5		16		−13	11		5						−2
				−12								1	0	1	−2	3
	1			−12		11 −5 −3							2	−1	4
											1		2	−1	4	−3
			1		1	1	−2		3			1	−1	−1	0	0
			1		1	1	−2		3							−1
			2 1			−2	1 1					2	1	2	1	−1
3			2 1			−2	1 1			6	−1		1	1 0 −1
			3		2	−1	1		6							−2
					−1	−1	1	−4				2	1	2	1	−2
	−2				−1	−1	1	−4					0	1	1
											3		0	1	1	−2

Продолжение

1						2				3								4

	1 1					−3 −2 0							1				1	2	1			0
	1 1					−3 −2 0															−2
			1		−1	1 1 1							1				5	6	5		−2
7			1		−1	1 1 1				13			1 −1					0 −1 1
			1		2	1	−3		2												−3
			−1		3	−2	−5						3				7	6	8		−3
			−1		3	−2	−5		2								2	0	1
											2						2	0	1		−1
	1 1					−1 −1 −1							1 0					0 2 0
			2 3			2	0	3							4 7			1 8 3
			2 3			2	0	3							4 7			1 8 3
8			3 6			6	2	6		14					3 0			0 4 0
			1 2			0	0 −2								9 1			5 7 1
			1 2			0	0 −2								9 1			5 7 1
						4	2
	1 3					4	2	3					1 0					0 5 0
	1 1					−1 2			2		1 0							1 0				1
					−1											−3		1 −1 −2
		1			−1	2	1 −1						1			−3		1 −1 −2
9		2 1				0 −1 2				15			2 −1					2 1 −1
		2 5				−6 1		8					1 1					1 1				1
		2 5				−6 1		8					1 1					1 1				1
					−1	1										−1		2 0
	0				−1	1	4 −1				0					−1		2 0				1
			1		−2	2	0	1						1			3	2	−2		4
														1			3	2	−2		4
			2		1	0	1	1						2 5				4 1 7
10			1 2			1 −1 0				16				2 5				4 1 7
														1			1	2	8		2
			1 8			−6 2 −1											4	4	6
					−3	−2	3						2				4	4	6		6
	0				−3	−2	3	1
				1	0	0	2	0				1				3		5		2			1
								−1				1				3		5		2			1
				2	1	1	1	−1				2 0						1		3 4
11				1 2		1 0 −2				17		2 0						1		3 4
						3 −1 −3						1				−9		−13		0			5
				4 3		3 −1 −3										9		17	12
					3	2	3				7					9		17	12			11
		4			3	2	3	−3
				1	1	1	2	5								1	1	−6		0
																1	1	−6		0
				2	1	1	3	4
12				1 0		1 4 7				18						2 1		3 −1
				1	1	2	5	13								7	4	3		−3
				1	1	2	5	13									7	7
					0	1	5							5			7	7		8
			2		0	1	5	6

Окончание

1							2			3							4

					1		0 0 −1					1 −2					2 4 1
						2	1 1 0							2 4			−1 3 2
						2	1 1 0							2 4			−1 3 2
19						1	1 1 1			25				1 14			−8 −6 1
						1	2 3 4							7 2			4 18 7
						1	2 3 4							7 2			4 18 7

					0		1 2 3					1 6					−3 −1 1
		1 1					1	1	1		1 0						1		1 −2
						−1											−1 0
					2	−1	2	1 −1				2 1					−1 0			1
20				1 0			1	0	1	26		1 2					2	−1 3
				0		−1	2	0	1			1 4					10 −1 3
				0		−1	2	0	1			1 4					10 −1 3
						−3	1								−9
		1				−3	1	−1 −2			1				−9		−28 3 −7
	1 −1						1	2	0			1 3					−1 1 −4
			2 0				1	1	2				3 1				3 5 2
			2 0				1	1	2				3 1				3 5 2
21			2 2				0	1 −1		27			2 2				1 3 −1
			3 5				−1 −3 3						1 −1				2 2 3
			3 5				−1 −3 3						1 −1				2 2 3
							0
	4 4						0	−1 3				5 3					4 8 1
	1 −1						1 −1 0								1	2	5	4	3
	1 −1						1 −1 0
			2 1				2 −1		2						2	4	7	8	2
22			2 1				2 −1		2	28					1 2		8 4 7
			1			−2	1	2	3								−1 4 −5
		−2				−1	−1	1	−4						1 2		−1 4 −5
		−2				−1	−1	1	−4							4	1	8
													2			4	1	8	−6
		1 1					1	1	1			2 1					−3 4 0
					2	−4	2	−2 −5						1 3			2 1 1
					2	−4	2	−2 −5						1 3			2 1 1
23					2 −1		2	−1 0		29				3 0			1 −1 2
					1 1		1	−1 2						6 4			0 4 3
					1 1		1	−1 2						6 4			0 4 3
						−2	1
		1				−2	1	0 −2				2 −3					−1 −2 1
		1 −2					1	3 1				−1 1					1 0 0
					2	−9	5 11 2						−1 1				1 0 −1
					2	−9	5 11 2						−1 1				1 0 −1
24					1 −7		4 8 1			30				3		0	1 1 −2
					2 1		−1 1 2							1 −1			−1 0 0
					2 1		−1 1 2							1 −1			−1 0 0

		1 3					−2 −2 1					2 1					2 1 −1

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Matematika

#
22.03.2015207.39 Кб23Вопросы для подготовки к экзамену.pdf
#
22.03.2015697.77 Кб20Выписка из рабочей программы учебной дисциплины.pdf
#
22.03.2015444.67 Кб28Индивидуальное домашнее задание.pdf
#
22.03.2015327.61 Кб26Математика. Методические указания по подготовке к контрольным работам, часть 1.pdf
#
22.03.2015374.4 Кб41Математика. Сборник заданий, часть 1.pdf
#
22.03.20151.32 Mб33Математика. Сборник заданий, часть 2.pdf
#
22.03.2015765.23 Кб29Математика. Сборник заданий, часть 3.pdf