Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matematika / Математика. Сборник заданий, часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

x2	+	( y + 3)2	= 1 – это уравнение эллипса, причем фокусы лежат
4
	16

на оси OY , центр симметрии находится в точке С(0; -3) (рис. 2б). 3) 5x2 − 4 y2 + 10x −15 = 0.

Выделяя полные квадраты, получим:

5(x2 + 2x) − 4 y2 −15 = 0,

5(x2 + 2x + 1) − 5 − 4 y2 −15 = 0, 5(x +1)2 − 4 y2 = 20,

( x + 1)2	−	y 2	= 1 – это уравнение гиперболы, центр симметрии
4
	5

которой находится в точке C(-1; 0), фокусы лежат на оси ОX

(рис. 2в).

				у
у				у


					2
			-2		2


				О
				О		х



	-1	С(4;-1) х

С(0;-3)

					а)						б)

				у
				у							у
											у



			5
			5							-1			1
										-1			1
	С(-1; 0)
											О
											О			х
														х
-3						О	1


									С(-1;-2)			2



			-1					х





		-	5

в)

г)

Рис. 2

4) y2 − 2x + 4 y + 2 = 0.

Выделяя полные квадраты, получим:

( y2 + 4 y) − 2x + 2 = 0,

( y2 + 4 y + 4) − 4 − 2x + 2 = 0,

( y + 2)2 − 2x − 2 = 0,

( y + 2)2 = 2(x + 1) – это уравнение параболы, вершина которой находится в точке С(-1; -2), ось симметрии – параллельна ОX

(рис. 2г).

2.3. Плоскость и прямая в пространстве

Задание 2.3.1.

Даны точки M1, M 2 ; векторы a1, a2 ; плоскости α1, α2 (см. таблицу).

1. Составить уравнение плоскости:

1) проходящей через точку M1 параллельно плоскости α1 ;

2) проходящей через точку M 2 перпендикулярно прямой

( M1M 2 ) ;

3)проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1, a2 ;

4)проходящей через точку M1 параллельно плоскости XOZ ;

5)проходящей через ось OZ и точку M 2 ;

6)проходящей через точки M1, M 2 параллельно оси OZ ;

7)проходящей через точки M1, M 2 параллельно вектору a2 ;

8)проходящей через точки M1, M 2 перпендикулярно плоскости

α2 ;

9)проходящей через точку M1 перпендикулярно плоскостям

α1, α2 .

2. Вычислить расстояние от точки M 2 до плоскости α2 .

Номер					M1							M 2																				α1	α2
варианта					M1							M 2									a1								a2			α1	α2
варианта

1					2							3									4								5			6	7

1		(		1, −1,1					(		2,3, −2				)	(		−4,3, −2							)		(		1, −1, 2	)		3x − 2 y + 5z −3 = 0	x + 3y − 4z + 7 = 0
1		(			)				(						)	(									)		(			)
2	(		3,0, −2			)				(	5,1, −1						(			2, −3,1							(		1,0, −2	)		2x − y + 4z −9 = 0	−x + 2 y −3z + 5 = 0
2	(					)				(			)				(						)				(			)
3	(		−1, 2, 4			)			(		3,1, −2			)		(		−3,1, −1								(	2, −1, −3				)	4x − 2 y + 5z +1 = 0	3x + y −5z −1 = 0
3	(					)			(					)		(								)		(					)
4	(		2, −1,3			)			(		4, −2,1							(		1,1, −1							(		7,1, −3	)		x + 2y − z + 2 = 0	5x + y + 2z −3 = 0
4	(					)			(					)				(				)					(			)
5		(		4,1, −3		)			(		1, 2, −1					(		−2,1, −5							)	(	4, −2, −1					2x + y − 7z + 3 = 0	x −3y +5z + 2 = 0
5		(				)			(					)		(									)	(					)
6	(		5, −2, 2			)			(		−2,1,3			)		(			5, 2, −1								(		3,1, −2	)		−2x + 3y − z + 4 = 0	−3x + 2 y − z + 3 = 0
6	(					)			(					)		(							)				(			)
7	(	−3,1, −2					)		(		−4,3,0				)		(		3, −4,1							(		−1,−5,1				5x + 2 y −3z +1 = 0	2x −3y + 4z −5 = 0
7	(						)		(						)		(						)			(				)
8	(		−2,3,0			)			(	0, −3, −1								(			2,1,0	)					(		−3,5,1			−3x − y + 4z −5 = 0	4y −5z +1=0
8	(					)			(						)			(				)					(			)
9	(	−4,5, −1							(		−1, 4,1					(			0, −2,3					)			(		3, −4,5	)		2x −5y + z −1 = 0	4x + 5y −3z − 2 = 0
9	(						)		(					)		(								)			(			)
10		(		0, −2,1				(	−5, −2, −1							(			3, −5, 2					)			(		1, −3, 4	)		−3y + 4z + 2 = 0	−2x + y −5z − 7 = 0
10		(				)		(							)	(								)			(			)
11		(		−5,3,1						(		4,1,5	)			(		−1,3, −2							)		(		6,3, −1			6x − 2 y + z −1 = 0	−4x − 2 y − z −1 = 0
11		(			)					(			)			(									)		(			)
12	(		6, 2, −1						(		−3, 2, 4				)	(			6, −1, 2					)			(		5, −1, 2	)		−4x − 2 y + z + 4 = 0	x + 6 y +5z +1 = 0
12	(					)			(						)	(								)			(			)
13	(		2, −6,1						(		3,5, −4				)		(		1, −6,3				)				(		−2,6,1			−5x + 7 y − z + 3 = 0	6x − y + 4z + 5 = 0
13	(					)			(						)		(						)				(			)
14			(		3, 2,1					(		4,3, 2	)					(			2,1,6	)					(		4,3, −1			4x + 3y − 2z + 5 = 0	7x + y + 2z −3 = 0
14			(		)					(			)					(				)					(			)
15	(		3, −5, 2			)			(		2,3, −4				)	(			2,5, −1								(		−7, 2,1			3x − 4 y + 2z + 9 = 0	−x + 5y − 2z +10 = 0
15	(					)			(						)	(							)				(			)

																																																Продолжение

1								2										3													4										5						6	7

16				(				)					(			3, 2, −2							)		(	3, −4, −2										)		(	−1,1, 2					)			−2x + 3y + 5z − 3 = 0	3x + y − 4z + 7 = 0
						−1,1,1										3, 2, −2										3, −4, −2													−1,1, 2								−2x + 3y + 5z − 3 = 0	3x + y − 4z + 7 = 0
17			(		3,			−2,0		)				(							)					(			2,1, −3					)				(	1, −2,0					)			2x + 4 y − z − 9 = 0	−x − 3y + 2z + 5 = 0
					3,			−2,0									5, −1,1												2,1, −3										1, −2,0								2x + 4 y − z − 9 = 0	−x − 3y + 2z + 5 = 0
18			(							)				(			−2,1,3					)			(		−1,1,−3								)		(	−3, −1, 2								)	5x − 2 y + 4z + 1 = 0	−5x + y + 3z −1 = 0
					4, 2, −1												−2,1,3										−1,1,−3											−3, −1, 2									5x − 2 y + 4z + 1 = 0	−5x + y + 3z −1 = 0
19		(		−2,1, −3							)		(	−4, 2,									)			(							)					(	7,1, −3					)			−x − 2 y + z − 2 = 0	5x + y + 2z − 3 = 0
				−2,1, −3										−4, 2,						−1									1,1, −1										7,1, −3								−x − 2 y + z − 2 = 0	5x + y + 2z − 3 = 0
20	(			−4, −1,3							)			(								)			(			2,			−1,5			)			(	4, −2,								)	−2x − y + 7z + 3 = 0	−x + 3y − 5z + 2 = 0
				−4, −1,3												1, 2, −1												2,			−1,5							4, −2,				−1					−2x − y + 7z + 3 = 0	−x + 3y − 5z + 2 = 0
21	(			−5, 2, −2								)	(		2, −1,					−3				)	(										)		(	−3, −1, 2								)	2x − 3y + z + 4 = 0	3x − 2y + z + 3 = 0
				−5, 2, −2											2, −1,					−3							−5,−2,1											−3, −1, 2									2x − 3y + z + 4 = 0	3x − 2y + z + 3 = 0
22				(	3,1, −2				)						(			4,3,0			)				(											)		(					)				−5x + 2 y − 3z + 1 = 0	−2x − 3y + 4z − 5 = 0
					3,1, −2													4,3,0									−3, −4,1												1,		−5,1						−5x + 2 y − 3z + 1 = 0	−2x − 3y + 4z − 5 = 0
23			(		3,			−2,0		)			(		−3,0,								)				(					)						(	5,					)			−x − 3y + 4z − 5 = 0	−5y + 4z +1 = 0
					3,			−2,0							−3,0,					−1									1, 2,0										5,		−3,1						−x − 3y + 4z − 5 = 0	−5y + 4z +1 = 0
24	(	−4,										)	(		−1,								)				(			0, 2,3			)					(		3,4,5			)				2x + 5y + z −1 = 0	4x − 5y − 3z − 2 = 0
		−4,						−5, −1							−1,				−4,1											0, 2,3										3,4,5							2x + 5y + z −1 = 0	4x − 5y − 3z − 2 = 0
25		(									)		(		−5,								)		(	3, −5,−2										)	(	1, −3,−4							)		−3y − 4z + 2 = 0	−2x + y + 5z − 7 = 0
				0,−2,−1											−5,				−2,1							3, −5,−2												1, −3,−4									−3y − 4z + 2 = 0	−2x + y + 5z − 7 = 0
26					(			)						(			−4,1,5					)				(		1,3, −2						)			(	−6,3,							)		−6x − 2 y + z −1 = 0	4x − 2 y − z −1 = 0
							5,3,1										−4,1,5											1,3, −2										−6,3,				−1					−6x − 2 y + z −1 = 0	4x − 2 y − z −1 = 0
27		(									)		(	−3,					−2, 4					)			(			6,1, 2		)						(		5,1, 2			)				−4x + 2 y + z + 4 = 0	x − 6y + 5z +1 = 0
				6,−2,−1										−3,					−2, 4											6,1, 2										5,1, 2							−4x + 2 y + z + 4 = 0	x − 6y + 5z +1 = 0
28			(		1, −6, 2				)				(			−4,5,3							)			(		3,						)				(	1,6, −2					)			−x + 7 y − 5z + 3 = 0	4x − y + 6z + 5 = 0
					1, −6, 2											−4,5,3												3,			−6,1								1,6, −2								−x + 7 y − 5z + 3 = 0	4x − y + 6z + 5 = 0
29				(	3,				)				(			4, −3, 2							)		(			2,			−1,6			)			(	4, −3,							)		4x − 3y − 2z + 5 = 0	7x − y + 2z − 3 = 0
					3,			−2,1								4, −3, 2												2,			−1,6							4, −3,				−1					4x − 3y − 2z + 5 = 0	7x − y + 2z − 3 = 0
30			(		6,			−5, 2		)			(			4,3, −4							)		(									)			(								)		6x − 4 y + 2z + 9 = 0	−2x + 5y − 2z + 10 = 0
					6,			−5, 2								4,3, −4												4,5, −1										−14, 2,1									6x − 4 y + 2z + 9 = 0	−2x + 5y − 2z + 10 = 0

Примерный вариант

Даны точки M1 (3, −2, −7), M 2 (−4, −1, −2) ; векторы a1 = (2, −1,3), a2 = (1, 2,1) ; плоскости α1 : 5x − 3y + 2z − 3 = 0, α2 : x + 2 y − 3z − 6 = 0 .

1. Составить уравнение плоскости:

1) проходящей через точку M1 параллельно плоскости α1 ;

2) проходящей через точку M 2 перпендикулярно прямой

( M1M 2 ) ;

3)проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1, a2 ;

4)проходящей через точку M1 параллельно плоскости XOZ ;

5)проходящей через ось OZ и точку M 2 ;

6)проходящей через точки M1, M 2 параллельно оси OZ ;

7)проходящей через точки M1, M 2 параллельно вектору a2 ;

8)проходящей через точки M1, M 2 перпендикулярно плоскости

α2 ;

9)проходящей через точку M1 перпендикулярно плоскостям

α1, α2 .

2. Вычислить расстояние от точки M 2 до плоскости α2 .

Решение.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку M ( x0 , y0 , z0 )

перпендикулярно вектору n = ( A, B,C ) имеет вид:	A( x − x	) +
	0

+ B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 . Нормальный вектор плоскости α1 явля-

ется нормальным вектором искомой плоскости, так как эти плоскости параллельны, тогда уравнение искомой плоскости имеет вид: 5( x − 3) − 3( y + 2) + 2( z + 7) = 0 5x − 3y + 2z − 7 = 0.

2) Вектор M1M 2 = ( x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 ) является нормальным вектором искомой плоскости. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 перпендикулярно прямой ( M1M 2 ) , имеет

вид: ( −4 − 3)( x + 4) + (−1 + 2)( y + 1) + ( −2 + 7)( z + 2) = 0

−7 x + y + 5z −17 = 0;

3)По определению векторного произведения вектор



a × a =		i	j	k	=	−1 3		i −	2	3	j +	2	−1	k = −7i + j + 5k
		i	j	k
		2 −1 3

1	2					2	1		1	1		1	2
		1	2	1		2	1		1	1		1	2
		1	2	1

перпендикулярен искомой плоскости, тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M 2 параллельно векторам a1, a2 имеет вид: −7( x + 4) + 1( y + 1) + 5( z + 2) = 0 5x + y + 5z −17 = 0.

4) Плоскость XOZ имеет нормальный вектор n = (0,1,0) , который является нормальным вектором и для искомой плоскости. То-

гда уравнение плоскости, проходящей через точку M1		параллельно
плоскости	XOZ имеет вид: 0( x − 3) + 1( y + 2) + 0	( z + 7) = 0
y + 2 = 0.
5) Уравнение плоскости, проходящей через ось OZ , имеет вид:
Ax + By = 0.	Точка M 2 принадлежит плоскости, следовательно, её

координаты удовлетворяют данному уравнению. Подставим в это

уравнение

координаты

точки

M 2 :

−4 A − B = 0 B = −4 A.

Тогда

уравнение плоскости, проходящей через ось OZ и точку M 2

имеет

вид: Ax − 4 Ay = 0 x − 4 y = 0.

Уравнение

искомой

плоскости

имеет

вид:

A( x − 3) + B ( y + 2) + C ( z + 7) = 0 ,

где n = ( A, B, C )

– нормальный

вектор

плоскости.

Векторы

M1M 2 = ( x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 ) =

(

−

(

−

7,1,5)

(

0,0,1 параллельны искомой

и k

)

плоскости, поэтому их векторное произведение – вектор, перпендикулярный этой плоскости.



M1M 2	× k =	i	j	k	=	1	5	i −	−7 5		j +	−7 1		k = i + 7 j .
		i	j	k
		−7 1		5

		0	0	1		0	1		0	1		0	0
		0	0	1

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M 2

параллельно оси OZ имеет вид: 1( x − 3) + 7 ( y + 2) + 0				( z + 7) = 0
x + 7 y + 11 = 0.
7) Уравнение	искомой	плоскости	имеет		вид:
A( x − 3) + B ( y + 2)	+ C ( z + 7) = 0 ,	где n = ( A, B,C )	–	нормальный
вектор плоскости.	Векторы M1M 2 = (−7,1,5) и a2 = (1, 2,1)				парал-

лельны искомой плоскости, поэтому их векторное произведение – вектор, перпендикулярный этой плоскости.



M M × a =			i	j		k	=	1 5		i −	−7 5		j +	−7 1		k = −9i +12 j −15k.
			i	j		k
			−7 1		5

1	2	2						2	1		1	1		1	2
			1	2		1		2	1		1	1		1	2
			1	2		1

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M 2 па-
раллельно вектору							a2		имеет			вид:		−9	( x − 3) + 12			( y + 2 ) −
−15( z + 7) = 0 −9x + 12 y −15z − 54 = 0 −3x + 4 y − 5z −18 = 0.
8)		Уравнение					искомой					плоскости					имеет		вид:

A( x − 3) + B ( y + 2) + C ( z + 7) = 0 , где n = ( A, B,C )

– нормальный век-

тор плоскости. Нормальный вектор плоскости

α2 n = (1, 2, −3)

па-

раллелен искомой плоскости, так как плоскость α2

перпендику-

лярна искомой. Тогда

векторное произведение M1M 2 = (−7,1,5) и

n = (1, 2, −3) –

вектор,

перпендикулярный

искомой

плоскости.

M M × a =

1 5

i −

−7 5

j +

−7 1

k = −13i −16 j −15k.

−7 1 5

−3

Тогда уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M 2

пер-

пендикулярно

плоскости

α2

имеет

вид:

−13( x − 3) −16

( y + 2) −

−15( z + 7) = 0 −13x −16 y − 15z − 98 = 0.

Искомая

плоскость

параллельна

векторам

n =

(5, −3, 2), n

= (1, 2, −3),

где

–

нормальный вектор плоскости

α1 , n2 – нормальный вектор плоскости α2 . Тогда векторное про-

изведение этих векторов – вектор, перпендикулярный искомой плоскости.



	i	j	k
n1 ´ n2 =	5	-3 2
	1	2	-3

	-3 2		5	2		5	-3		.

=	2 -3	i -	1	-3	j +	1	2	k = 5i +17 j +13k

Тогда уравнение плоскости,

проходящей через точку M1 пер-

пендикулярно плоскостям

α1, α2 ,

имеет

вид:

5( x - 3) +

+17( y + 2) +13( z + 7) = 0 Û 5x +17 y +13z +110 = 0.

II. Расстояние от точки M 2

до плоскости α2

вычисляется по

формуле: d =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

, где

( x0 , y0 , z0 ) –

координаты

A2 + B2 + C2

– общее уравнение плоскости α2 .

точки

M 2 , Ax + By + Cz + D = 0

1×(-4) + 2 ×(-1) - 3 ×(-2) - 6

-6

Тогда

d =

12 + 22 + (-3)2

Задание 2.3.2.

; плоскости α , α

Даны точки M

, M

; векторы a

, a

(смотри

задание 2.3.1.) и прямые l1, l2 .

Номер

варианта

x +1

y − 3

z + 5

x = −2t − 4, y = t + 1, z = 4t − 2

−2

x − 2

y +1

z − 4

x = t + 3, y = −3t + 2, z = −2t

−3

−2

x + 4

y − 3

z + 6

x = 3t + 2, y = 5t − 4, z = −t + 3

−1

Продолжение

y + 2

z + 3

x = −4t

− 1, y

= −2t + 1, z = 3t − 3

−4

−2

x + 3

z + 2

= −4

x = 2t

+ 5, y

= −4t + 7, z = t − 6

x − 5

y +1

z − 3

x = 6t − 2, y = −3t + 4, z = 4t + 1

−3

x + 2

y + 6

z −1

x = −t + 3, y = 4t +1, z = 5t − 3

−1

x − 3

y + 2

z − 4

x = −5t − 3, y = t + 2, z = 3t − 7

−5

x − 6

y − 5

z + 1

x = 4t + 4, y = 3t − 2, z = −t

− 1

x + 5

y − 2

z + 4

x = 2t +1, y = 3t − 5, z = −2t + 3

−2

x − 2

y + 4

z −1

x = 3t

+ 5, y

= −t − 3, z = 5t + 1

−1

x − 4

y + 2

z + 3

x = −3t

+ 2, y

= 2t + 5, z = −2t + 4

−3

−2

x + 6

y + 3

z − 2

x = −4t +1, y = −5t + 3, z = −3t − 2

−4

−5

−3

x −1

y + 5

z +1

x = 5t + 2, y = 3t −1, z = −4t + 2

−4

x + 7

y − 2

z + 7

x = −6t

+ 1, y

= 2t + 3, z = −5t − 1

−6

−5

x −1

y + 2

z − 4

x = t + 2, y = 2t − 4, z = −3t + 1

−3

x − 3

y + 4

z −1

x = 2t − 2, y

= −4t + 1, z = t + 3

−2

−5

x −1

y + 2

z − 4

x = −4t, y = 3t − 3, z = −2t − 1

−1

x +1

y − 2

z − 3

x = −4t

− 1, y

= −2t + 1, z = 3t − 3

−4

−2

Продолжение

x + 3

z + 2

x = t

− 5, y

= −4t + 7, z = t + 6

= −4

x − 3

y +1

z − 3

x = 6t

− 2, y

= −3t + 4, z = 4t + 1

−2

x + 2

y + 6

z −1

x = t + 3, y = 4t, z = 5t − 3

−1

x + 3

y − 2

z + 4

x = −5t − 3, y = t + 2, z = 3t − 7

−5

x − 6

y − 5

z + 1

x = t

− 4, y

= 3t + 1, z = −t + 2

− 1

x − 5

y − 3

z + 3

x = 2t + 3, y = t − 5, z = −2t +1

−2

x − 2

y − 3

z +1

x = 3t + 5, y = −t − 3, z = 5t + 1

−1

x − 4

y + 2

z + 3

x = −t

+ 2, y

= −2t + 5, z = 2t + 4

−3

−2

x − 3

y + 3

z − 2

x = −4t +1, y

= −5t + 3, z = −3t − 2

−4

−3

x −1

y + 5

z +1

x = 5t, y = 3t + 1, z = −4t + 2

−4

x + 7

y − 2

z −1

x = −6t + 1, y = 2t + 3, z = −5t − 1

−3

−5

1.Составить уравнения прямой, проходящей:

1)через точки M1, M 2 ;

2)через точку M1 параллельно оси OY ;

3)через точку M 2 параллельно прямой l2 ;

4)через точку M1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей α1, α2 ;

5)через точку M 2 перпендикулярно плоскости α1 .

2. Найти точку пересечения прямой l1 и плоскости α2 .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Matematika

#
22.03.2015207.39 Кб23Вопросы для подготовки к экзамену.pdf
#
22.03.2015697.77 Кб20Выписка из рабочей программы учебной дисциплины.pdf
#
22.03.2015444.67 Кб28Индивидуальное домашнее задание.pdf
#
22.03.2015327.61 Кб26Математика. Методические указания по подготовке к контрольным работам, часть 1.pdf
#
22.03.2015374.4 Кб41Математика. Сборник заданий, часть 1.pdf
#
22.03.20151.32 Mб33Математика. Сборник заданий, часть 2.pdf
#
22.03.2015765.23 Кб29Математика. Сборник заданий, часть 3.pdf