Matematika / Вопросы для подготовки к экзамену

Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика 1»

Введение в дискретную математику

1.Определение высказывания. Логические операции над ними. Таблицы истинности.

2.Определение предиката. Кванторы, их использование в математике.

3.Множества, основные понятия. Способы задания множеств.

4.Определение операций над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.Определение матрицы. Определения квадратной, единичной, нулевой, транспонированной матриц. Определения матрицы-столбца и матрицы-строки. Сумма, произведение матриц. Произведение матрицы на число. Законы операций над матрицами.

2.Определители второго и третьего порядков. Их вычисление. Определители n -го порядка. Алгебраические дополнения и миноры элемента матрицы. Свойства определителей. Обратная матрица. Особенная (вырожденная) матрица. Теорема об обратной матрице.

3.Элементарные преобразования матрицы. Эквивалентные матрицы. Миноры n - го порядка. Ранг матрицы. Трапециевидная матрица. Теорема о трапециевидной матрице.

4.Система линейных уравнений. Определение решения системы. Совместная система. Матрица системы. Равносильные системы. Расширенная матрица системы. Элементарные преобразования системы линейных уравнений. Однородная система. Определитель системы.

5.Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о числе решений системы линейных уравнений. Теорема о решении однородной системы. Теорема Крамера. Решение систем линейных уравнений матричным способом. Метод Гаусса.

6.Определение вектора. Основные понятия: единичный, нулевой, коллинеарные,

компланарные векторы, длина вектора. Пространство Rn . Расстояние в Rn . Линейные операции над векторами. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Направляющие косинусы. Орты. Декартова прямоугольная система координат (ДПСК).

7.Скалярное произведение векторов и его свойства. Проекция вектора на вектор. Ортогональные векторы. Ортогональная и ортонормированная системы векторов. Ортонормированный базис. Длина вектора и угол между двумя векторами в ДПСК. Условие ортогональности двух векторов.

8.Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Геометрический смысл векторного произведения. Вычисление векторного произведения в ДПСК. Условие коллинеарности двух векторов. Физический смысл векторного произведения.

9.Определение и геометрический смысл смешанного произведения трех векторов. Вычисление смешанного произведения в ДПСК. Свойства смешанного произведения.

10.Уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Параметрическое задание кривой. Уравнение поверхности. Полярные координаты.

11.Различные формы уравнения прямой: векторное, параметрические, каноническое, общее уравнения. Уравнения прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом.

12.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Задача

овычислении расстояние от точки до прямой на плоскости.

13.Различные формы уравнения плоскости: векторное, общее, уравнение плоскости в отрезках; уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Угол между плоскостями.

14.Уравнение прямой в пространстве. Задача о вычислении расстояние от точки до плоскости. Пучок плоскостей. Смешанные задачи на прямую и плоскость в пространстве.

15.Определение, уравнения и графики кривых второго порядка (КВП): окружность, эллипс, гипербола, парабола. Алгоритм приведения общего уравнения кривой к каноническому виду.

16.Поверхности второго порядка (ПВП): эллипсоид, гиперболоиды (однополостный и двуполостный), конус, параболоиды (эллиптический, гиперболический), цилиндры (эллиптический, гиперболический, параболический). Их чертежи.

Введение в математический анализ

1. Определение ограниченного и неограниченного множеств. Расширенное множество вещественных чисел R , операции с бесконечными числами. Понятие граней множества.

2.Определение функции. Основные характеристики функции: однозначность, обратимость, периодичность, чётность, монотонность. Сложная функция.

3.Определение окрестности, предельной, изолированной точки.

4.Определение числовой последовательности. Определение предела функции в точке. Определение односторонних пределов функции.

5.Основные теоремы о пределах функций и числовых последовательностей.

6.Многочлены. Теорема Безу. Следствие. Простые, кратные корни. Деление многочлена на многочлен.

7.Неопределённые выражения. Основные способы их раскрытия.

8.Замечательные пределы. Их использование для раскрытия неопределённых выражений при вычислении пределов функций.

9.Определения бесконечно малых и бесконечно больших функций, их свойства. Сравнение бесконечно малых. Символы o -малое и O -большое.

10.Теорема об эквивалентных функциях. Список эквивалентных функций. Следствие

11.Определение приращения аргумента, приращения функции в точке. Определение функции, непрерывной в точке.

12.Теорема об арифметических операциях над непрерывными функциями, теорема о непрерывности сложной функции. Основные элементарные функции (область определения, множество значений, графики). Теорема о непрерывности основных элементарных функций. Элементарные функции. Теорема о непрерывности элементарных функций.

13.Классификация точек разрыва: точки конечного и бесконечного разрыва, точки устранимого разрыва и скачка функции. Скачок функции.

14.Определение функции, непрерывной в интервале, непрерывной в точке слева и справа, непрерывной на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема об обратной функции.