Matematika / Математика. Сборник заданий, часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Примерный вариант

Найти ранг матрицы:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Решение.

Последовательно осуществляем линейные преобразования строк данной матрицы для приведения ее к ступенчатому виду.

1)Переставим в данной матрице первую и вторую строки.

2)Умножим на 2 первую строку и прибавим ее к третьей, полу-

	2	−4	1	5	3
чим:	0	−1	3	0	2
						.
	0	−3	9	0	6

3) Умножим на (-3) вторую строку и прибавим ее к третьей, по-

Таким образом, получили матрицу ступенчатого вида, эквивалентную заданной. Очевидно, что все миноры третьего порядка равны нулю. Легко указать минор второго порядка, не равный нулю. Следовательно, ранг равен 2: rang = 2.

1.2 Системы линейных уравнений

Задание 1.2.1. Решить систему уравнений тремя способами:

1)методом Гаусса;

2)методом Крамера;

3)матричным методом.

Номер

Система уравнений

Номер

Система уравнений

варианта

2x − 3y + z = 17

3x + y + 4z = 0

+ y − 3z = −2

2x + 4 y − 3z = 10

+ 2z = 16

6x − y + 2z

= −9

2x + 2y − z =11

3x − 2 y − 3z = 0

− 2 y

+ 3z

= −7

+ 5y

+ 3z

= 1

6x + 5y + z

= 26

2x − 3y − 4z = 3

x − y + 2z = 2

2x + 2 y − 3z = 1

+ 3y

+ 7z = 22

x − 5y + 2z = −15

+ 3y

−10z = 11

2x − y − 7z = −1

2x − 4 y + 9z = 28

2x + y + 2z = 9

+ 3y

− 6z = −1

− 3y

− 3z

= 0

9 y

− 9z = 5

4x + 2y − 3z = 4

2x − y − z = 6

2x + 3y + z = 3

− 3y + 2z = −2

+ 4z

= −8

2x − y

2x − 2y − z

= 3

3x + 2y − 5z

= 6

4x1 + 2x2 + x3 = 1

5x + 2 y − 2z = −3

+ x2

+ x3 = −2

3x − y + 4z = 13

2x + x

+ 3x = 3

x + 3y + 5z = 5

x − 2 y + 3z = 6

3x − 7 y + z = −3

− z = 3

+ 2 y

+ 2z

= 0

2x − y

3x − 4 y + z = 2

3x − y

+ 4z

= −3

x + y − 2z = −3

5x + 3y + z = 4

+ 3z = 9

2x − y

2x − 5 y + 2z = 11

+ z = 8

x + 2 y

− 3z

= −7

x − 2 y + 3z = 6

4x + y + 2z = −9

+ 3y

− 4z = 20

+ 3y

+ 5z

= −12

−

2 y

− 5z = 6

+ 3y

+ 7z

= −20

x − 2 y − 3z = −1

2x1 + 3x2 + 11x3 = 7

+ x2

+ 5x3

= 3

2x − 5y − 4z = 1

+ 3y

− 4z

= 2

2x + x

+ 3x

= −1

2x − 3 y + 4z = 20

x + 2 y + 3z = −7

x + 5 y + 2z = −16

2x + y + 2z = −8

−

4 y

− 3z = 21

4x + 3y + 2z

= −8

								Продолжение

1			2			3		4

		2x + 3y + 4z = 7					5x + 3y + 4z = −3
23			+ 2y + 3z = 5			27
23		x	+ 2y + 3z = 5			27	3x − y − 6z = 1
		2x + y + 2z = 7					2x + 2 y − 5z = 7

	3x1 + 4x2 + x3 = −1						2x − y + z = 8
24			+ 5x2	+ 3x3 = −1		28		− 5z = 6
24	3x1		+ 5x2	+ 3x3 = −1		28	x − 3y	− 5z = 6
	6x		+ 8x	+ x = −3			3x + y	− 7z = −4
		1	2		3
		3x + 2y − z =1					4x − 3y + z = 2
25			+ y + 2z = 2			29
25		x	+ y + 2z = 2			29	x − 2 y − 2z = 6
		2x + 2y			+ 5z = 3		3x − y	+ 2z = −1

		3x − 2 y + 4z = 15					2x + 2 y + 3z = −1
26						30
26		4x + 3y − 5z = 5				30	x − 2 y = 7
		x − 6 y +			3z = 3		3x + 2 y − 8z = −11

Примерный вариант

Решить систему уравнений		3x + 2y + z = 2,
Решить систему уравнений		2x − y		+ 2z = −2,
		4x + 3y − z =					1.

Решение.
1)Метод Гаусса.
Расширенная матрица этой системы имеет вид:
3		2	1		2
3		2	1		2
		−1			−2
	2	−1	2		−2	.
	4	3	−1		1
	4	3	−1		1

	−	2
Умножим элементы первой строки этой матрицы на			и

		3

прибавим к соответствующим элементам второй строки. Аналогич-

ветствующим элементам третьей строки. В результате получим матрицу:



3	2		1			2
		7		4			10
0	−	7		4		−	10		.
0	−		3			−			.
	3		3					3
	1				7			5
0	1		−		7	−		5
0			−			−
	3				3			3
	3				3			3

Теперь умножим элементы второй строки полученной матрицы

на	1		и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
на			и прибавим к соответствующим элементам третьей строки.
7


						3		2					1				2
									7				4					10
Имеем						0		−	7				4			−		10	.
Имеем						0		−					3			−			.
								3					3				3
													15				15
						0		0				−	15			−	15
						0		0				−				−
													7				7
													7				7
Таким образом, получаем систему:
		3x + 2 y + z = 2,


		7					4				10
−				y		+		z = −						,	откуда z = 1, y = 2, x = -1.
−				y		+		z = −						,	откуда z = 1, y = 2, x = -1.
		3					3				3
			−		15		z	= −		15

						7				7
						7				7

Ответ: {(−1; 2; 1)}.

2) Метод Крамера.

Вычислим определитель матрицы системы, разложив его по элементам первой строки:

	3	2	1
∆ =	2	−1	2	= 3(1 – 6) − 2(−2 − 8) + 1(6 + 4) =15.
	4	3	−1

Так как ∆ = 15 ≠ 0, то данная система имеет единственное решение. Вычислим определители x , y , z :

			2		2	1
Dx =			-2		-1	2			= 2(1 − 6) – 2(2 − 2) + 1(−6 + 1) = −10 − 5 = −15,
			1		3	-1
				3	2	1
				3	2	1
Dy	=			2	-2	2		= 3(2 − 2) − 2(−2 − 8) + 1(2 + 8) = 20 + 10 =30,
				4	1	-1
		3			2	2
		3			2	2
Dz	=	2			-1 -2		= 3(−1 + 6) − 2(2 + 8) + 2 (6 + 4) = 15 − 20 + 20 = 15.
		4			3	1

Найдем решение по формулам Крамера:

х = х = −15 = -1, y =	у	=	30	= 2, z =	z =	15	=1.

15	15				15

Ответ: {(−1; 2; 1)}.

3)Матричный метод.

	3	2	1
	2	-1	2	, X =
A =
	4	3
			-1

y ,

B= -2 .1

Прежде всего найдем матрицу, обратную к матрице A. Для этого вычислим алгебраические дополнения:

А =		−1		2			= −5,					А = −				2	2			= 10,			А			=	2			−1		= 10,
А =		−1		2			= −5,					А = −				2	2			= 10,			А			=	2			−1		= 10,
11		3		−1									12			4		−1						13			4			3
		3		−1												4		−1									4			3
А = −			2 1					= 5, А =							3 1				= −7, А = −									3	2		= −1,


21			3	−1									22		4		−1						23					4		3
			3	−1											4		−1											4		3
	2 1													3 1				= −4, А =							3 2
А =	2 1				= 5, А = −									3 1				= −4, А =							3 2					= −7.
31		−1		2						32				2 2							33				2			−1
		−1		2										2 2											2			−1
Отсюда
												-5			5 5								-5 5								5
						−1			=	1	×			-7 -4						=	1	×				-7				-4
					А								10											10									.
					А					D			10								15			10									.
										D			10	-1 -7							15			10		-1				-7
													10	-1 -7										10		-1				-7

		Тогда
										-5 5		5		2					-5 × 2 + 5 × (-2) + 5 ×1
				−1			1									1
Х =				А	× В =				×		10 -7	-4	×	-2	=			×		10 × 2 - 7 × (-2) - 4 ×1		=
Х =				А	× В =				×		10 -7	-4	×	-2	=	15		×		10 × 2 - 7 × (-2) - 4 ×1		=
							15				10 -1	-7		1		15				10 × 2 -1× (-2) - 7 ×1
											10 -1	-7		1						10 × 2 -1× (-2) - 7 ×1
			-15				-1								x			-1
=	1					=											=
				30				2			. Таким образом, y								2		, или x = -1, y = 2,
	15			30				2			. Таким образом, y								2		, или x = -1, y = 2,
	15			15				1											1
				15				1							z				1

z = 1.

Ответ: {(−1; 2; 1)}.

Задание 1.2.2. Найти общее решение и одно из частных решений системы уравнений.

Номер

Система уравнений

Номер

Система уравнений

варианта

2x − 3y + z = 0

x − 2 y + 3z = 0

5x + y − 3z = 0

2x − y − z = 0

7x − 2 y − 2z = 0

3x − 3y + 2z = 0

2x + 2y − z = 0

x + y − 2z = 0

− 2y + 3z = 0

2x − y + 3z =

3x + 2z = 0

x − 2 y + 5z =

x − y + 2z = 0

x − 2 y + 3z = 0

2x + 3y + 7z = 0

2x + 3y − 4z = 0

+ 2 y + 9z = 0

3x + y − z = 0

2x − 4y + 9z = 0

x − 2 y − 3z = 0

+ 3y − 6z = 0

2x − 5y − 4z = 0

+ 7 y −15z = 0

3x − 7 y − 7z = 0

2x − y − z = 0

2x − 3y + 4z = 0

− 3y + 2z = 0

x + 5y + 2z = 0

3x − 4 y + z = 0

3x + 2 y + 6z = 0

4x1 + 2x2 + x3 = 0

3x + y + 4z = 0

+ x2

+ x3 = 0

2x + 4 y − 3z = 0

+ x

= 0

5x + 5y + z = 0

Продолжение

3x − 2 y − 3z = 0

x + 2y + 3z = 0

x + 5y + 3z = 0

2x + y + 2z = 0

2x −

7 y

− 6z = 0

3x + 3y

+ 5z = 0

2x + 2 y

− 3z = 0

2x + 3y

+ 4z = 0

+ 2y + 3z = 0

x − 5y + 2z = 0

3x −

3y − z

= 0

3x + 5y

+ 7z = 0

2x + y + 2z = 0

3x1 + 4x2 + x3 = 0

+ 5x2

+ 3x3

= 0

x − 3y − 3z = 0

3x1

3x − 2 y

− z = 0

+ 9x

+ 4x

= 0

2x + 3y + z = 0

3x + 2 y − z = 0

2x − y + 4z = 0

x + y + 2z = 0

4y − 3z

= 0

2x + y − 3z =

5x + 2 y − 2z = 0

3x − 2 y + 4z = 0

− 5z = 0

3x − y + 4z = 0

4x + 3y

2x +

− 6z = 0

−x − 5y

+ 9z = 0

3x − 7 y + z = 0

5x + 3y + 4z = 0

x + 2 y + 2z = 0

3x − y − 6z = 0

4x −

+ 3z = 0

2x + 4y +10z = 0

5x + 3y + z = 0

2x − y + z = 0

+ 2z = 0

− 3y − 5z = 0

2x − 5y

3x + 8 y − z

= 0

3x − 4 y

− 4z = 0

4x + y + 2z = 0

4x − 3y + z = 0

− 2 y − 2z = 0

5x + 3y + 5z = 0

9x +

+ 7z = 0

3x − y

+ 3z =

2x1 + 3x2 + 11x3 = 0

2x + 2y + 3z = 0

+ x2

+ 5x3

= 0

− 2 y = 0

+ 2x + 6x

= 0

3x + 3z

= 0

Примерный вариант

Найти общее решение и одно из частных решений системы

2x − 5y + z = 0,

уравнений − + =

: 3x 4 y 2z 0,

x + y + z = 0.

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы, переставив в системе последнее уравнение на первое место:

1		1	1	0

		−5
	2		1	0	.
	3	−4	2	0

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Далее умножим первую строку на (-3) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу:

Умножим вторую строку полученной матрицы на (-1) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. Получим матрицу:

Таким образом, получаем систему

{x + y + z = 0, 7y − z = 0.

Выберем свободное переменное, пусть им будет у. Тогда общее

решение системы имеет вид:

{x = 6y, z = −7 y,

где у – любое действительное число. Частное решение можно найти, подставив любое конкретное значение значение у. Например,

при y = 1 получим: x = 6, z = −7 . Тогда (6, 1, − 7) – частное решение системы.

1.3.

Векторная алгебра

Задание 1.3.1. Заданы координаты точек: A, B, C, D.

Найдите: 1)

; 2)

AB × CD ; 4) cos B в

m , если m = AB ; 3)

треугольнике ABC;

если

n = AB - CD ; 6)

Прp AB ,

если

; 8)

площадь

треугольника

BCD;

= 2BC

+ BD ;

B C

´ B D

; 10)

объем пирамиды ABCD.

A B

´ A C

× A D

Номер

Координаты

варианта

точки A

точки B

точки C

точки D

(1; 2; 3)

(-1; 3; 5)

(3; 0; 7)

(-2;2;6)

(2; -3; 0)

(7; 0; 2)

(4;1; 3)

(5; -2; 2)

(-1; 3; -2)

(0; 5; 0)

(1; 6; 2)

(-2; 0; 3)

(3; 5; 1)

(2; 3; 4)

(7; 5; 2)

(-1; 3; 3)

(3; -1; 2)

(5; 0; 4)

(6; 1; 2)

(0; 2; 5)

(0; 2; 3)

(3; 1; 7)

(1; 2; 5)

(-1; 0; 4)

(-2; 3; 1)

(0; 5; 2)

(-1; 6; 0)

(-3; 4; 5)

(1; 0; 5)

(3; 2; 7)

(-2; 4; 5)

(0; 2; 8)

(-5; 0; 1)

(3; -3; 0)

(4; 1; 1)

(2; -2; 3)

(2; -1; 3)

(7; 0; 1)

(-3; 2; 0)

(5; -3; 4)

(1; 0; -1)

(2; -1; 3)

(0; -1; -2)

(1; -2; 3)

(2; -3; 4)

(0; 1; 3)

(5; -1; 1)

(0; -3; 0)

(4; 0; 1)

(3; -1; 0)

(2; -2; 1)

(0; -1; 5)

( 1; 2; 3)

(-1; 3; 4)

(5; 0; 3)

(2; -1; 4)

(1; 0; 3)

(-2; 1; 5)

(3; 2; 6)

(-1; 3; 3)

(0; -1; 4)

(3; 2; 7)

(2; -5; 4)

(1; 2; 5)

(3; 0; -1)

(6; 2; -3)

(4; -1; -5)

(2; 2; -2)

(0; 1; -2)

(2; 4; -3)

(1; 3; -2)

(3; -1; -4)

(-3; 5; 1)

(-1; 7; 6)

(0; 4; 3)

(-2; 1; -1)

				Продолжение

1	2	3	4	5

20	(4; -1; -1)	(7; 0; 3)	(5; -2; 0)	(1; -3; -5)

21	(2; -1; -3)	(4; 0; 2)	(-1; 2; -3)	(5; 1; 0)

22	(3; -1; 2)	(5; 1; 3)	(0; 2; 6)	(7; -1; -2)

23	(1; 2; 2)	(-1; 4; 7)	(3; 0; 3)	(-2; 2; 5)

24	(-2; 0; -1)	(0; 3; 1)	(-4; 2; 0)	(1; 3; -5)

25	(1; -1; 0)	(-2; 3; 1)	(3; -2; 2)	(5; -3; -2)

26	(-3; 0; -1)	(2; -4; -3)	(0; 5; -5)	(-6; 3; 2)

27	(1; -3; 2)	(-2; 0; 4)	(5; -2; 3)	(-1; -4; 4)

28	(5; 0; -1)	(2; -3; 3)	(6; 2; -3)	(4; -2; 2)

29	(-2; 3; 4)	(0; -1; 5)	(-3; 2; 2)	(-4; 0; 6)

30	(3; 1; -2)	(1; 2; -5)	(4; 3; -2)	(2; -3; -1)