Matematika / Математика. Сборник заданий, часть 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Череповецкий Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

= 1 – эллипсоид с центром в начале координат.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.03.2015

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Примерный вариант

Даны точки		M1 (3, −2, −7), M 2 (−4, −1, −2) ; векторы a1 = (2, −1,3),
a2 = (1, 2,1) ; плоскости				α1 : 5x − 3y + 2z − 3 = 0, α2 : x + 2 y − 3z − 6 = 0 ;
прямые. l :	x −1	=	y + 2	=	z +1	и l		: x = −3t +1, y = 2t − 3, z = 5t +1.
							2
1	5	3			−1

1. Составьте уравнения прямой, проходящей:

1)через точки M1, M 2 ;

2)через точку M1 параллельно оси OY ;

3)через точку M 2 параллельно прямой l2 ;

4)через точку M1 параллельно прямой, образованной пересечением плоскостей α1, α2 ;

5)через точку M 2 перпендикулярно плоскости α1 .

Найдите точку пересечения прямой l1 и плоскости α2 .

Решение.

Прямую в

пространстве можно

задать

уравнениями

x − x0

y − y0

z − z0

или x = mt + x , y = nt + y , z = pt + z

, где

M ( x , y , z

) –

точка, принадлежащая данной прямой, s = (m, n, p ) –

направляющий вектор прямой - вектор, лежащий на данной прямой или на прямой, параллельной данной. Тогда

M1M 2 = ( x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 ) = (−4 − 3, −1 + 2, −2 + 7) = (−7,1,5)

–

направляющий вектор, прямая задается уравнениями:

x − 3

y + 2

z + 7

−7

= (0,1, 0), тогда прямая

На оси OY направляющий вектор

задается

уравнениями:

x − 3

y + 2

z + 7

или x = 3, y = t − 2,

z = −7.

3) Прямая l2 параллельна искомой прямой, следовательно, их направляющие векторы совпадают. Тогда прямая задается уравне-

ниями:

x + 4

y +1

z + 2

−3

= (5, -3, 2),

Искомая

прямая

параллельна

векторам

n = (1, 2, -3), где n

–

нормальный вектор плоскости

α ,

– нор-

мальный вектор плоскости

α2 . Тогда векторное произведение этих

векторов –

вектор, перпендикулярный искомой прямой.

n1 ´ n2 =

-3 2

i -

5 2

j +

5 -3

k = 5i +17 j +13k .

5 -3 2

-3

1 -3

1 2

Тогда прямая задается уравнениями: x − 3 = y + 2 = z + 7 .

Искомая прямая параллельна вектору n

(5, -3,2) – нор-

мальному вектору плоскости α . Тогда вектор n

–

направляющий

вектор

искомой

прямой,

прямая задается

уравнениями:

x + 4

y +1

z + 2

−3

x = 5t +1,

y = 3t − 2,

Перепишем

уравнения

l1 в виде:

z = −t −1.

Координаты точки

пересечения

прямой и

плоскости

удовлетворяют уравнениям прямой и уравнению плоскости. Подставим полученные выражения для x, y, z в уравнение плоскости a2 : x + 2y -3z - 6 = 0 5t +1+ 2(3t - 2) -3(-t -1) - 6 = 0 Û14t - 6 = 0 Û

Û t =	3	x = 5×	3	+1 =	22	, y = 3×	3	- 2 = -	5	, z = -	3	-1 = -			10		.
Û t =		x = 5×		+1 =		, y = 3×		- 2 = -		, z = -		-1 = -			7		.
7		7		7		7		7		7					7
													22	, -	5			-	10
Итак, точка пересечения имеет координаты:																,				.
													7		7	,			7	.
													7		7				7

2.4. Поверхности второго порядка

Задание 2.4.1.

Даны уравнения. Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте чертеж.

Номер		Номер
вари-	Уравнения	вари-	Уравнения
анта		анта

1	2	3	4

1) 3x 2 + y 2 − 4 z 2 = 1

1) z 2 = 2 x − 1

2) x2 − 2 x − 6 y + 55 = 0

2) 36x2 + 9 y2 + 4 z2 = 36

3) x 2 + 2 y 2 + z 2 = 16

3) x2 − 4 y2 = z 2

4) x2 − y 2 + 2 z 2 = 0

4) − 36x2 + 9 y2 + 4z 2 = 36

1) 9x2 + 4 y2 + z2 = 1

1)2x 2 + 3 y 2 − 4z − 12 y = 0

x 2

y 2

+ z 2

2) 2x2 + 3 y2 = 1

2) −

= 0

3) x2 − 2x + y2 + 2z + 1 = 0

3)x 2 + 3z 2 = 9

4) x2 + y2 − z2 = −10

+ 4z 2 = 36

4)36(x − 2)2

− 9 y 2

1) x2 + y 2 + z 2 = 36

1) z2 − 2z + y2 = 0

2) x2 − y2 − z2 = 0

2) 3 y 2 − 2 z 2 = 1

3) 36 x2 − 38 y 2 + z 2 − 2 z = 71

3) −

−

= 1

4) x2 + 4 z 2 − y 2 = 0

4) x2 + 2 y2

4z2 = 8

1) 2x2 = 6 y

1) z − y 2 + 4 = 0

2) 2x2 + 3y2 + z2 = 4x

2) − x2 + 2 y 2 − z 2 + 3 = 0

3) 2x2 − y + z2 = 0

3) 9 x2

+ 4 y

2 + z 2 = 36

4) x2 + y2 − 4z2 = 0

4) x2 + 2 y 2 − z 2 = 0

1) x2 − y2 + 3z2 − 6z + 3 = 0

1) x2 − 2x + y2 + z = 0

+ z2 = 1

2) z2 − y + 4 = 0

+ z2 = 0

3) 4x2 + y2 + z2 = 16

3) 9x2

− y2

4) x2 − y2 − z2 = 27

4) y = − 1 +

1) x2 − 3 y 2 + z 2 = 0

1) x2 + y 2 + 9 z 2 − 2 x = 0

2) x2 + y 2 + z 2 + 10 x − 2 y + 1 = 0

2) z 2 = 2 x

3) 2 x + y2 + 4 z 2 = 0

3) x2 − 3 y 2 + ( z − 2)2 = 0

4) 2 y 2 − z 2 = 1

4) x2 + 2 y 2 + 4 z 2 = 16

Продолжение

1) x − y2 − 4 y − 4z2 = 4

− z2 = 1

2) y

+ 4z

= 16

2) x2 − 6x + y + z2 = 0

(x + 1)2

( y −1)2

= 1

3) − 9x2 + y2 +10z2 = 0

4) 4x2

− y2 + z2 =

4) z = − 1 −

− y2

1) y =

1) x

−

=16

x2 − 1

2) 3x2 +12y2 − 24y + 4z2 = 0

2) −

+ z2 = 1

3) x2

+ 2y2 − z = 0

16 9

4) 9x2 − y2 − 3z2 = 27

3) 16x2

− y2

+ z2 = 0

4) x2 + 3y2 + z2 − 6z2 = 0

1) (x −1)2 − y2 − 4z2

1) x =

z2 − y2

2) x2 = −4x + y2 + z2 = 0

3) y2 = 4z

3) x

− 4x = y

+ 8z

+ 4

4) −

− z2 = 1

4) 2x2 − y + z2 = 0

1) x2 − 2y2 + 4y + z2 = 0

1) 4x2 + y2 − 4y + z2 = 0

2) y = − x2 + z2

−

3) − x2 +

16y2 + z2 = 0

4 9

4) y = −

−

4 − x2 − 3z2

1) x =

1) x2 + 4 y + 16z2 = 0

z − 4 y2

2) x2 − y2 − 4 y − z2 = 0

2) 4x2 − y2 + 4 y + z2 = 0

3) x = 4 − y2 − z2

+ z2 = 1

= 1

4) 4x2 − z

= 0

1) z = 3 1−

− z =1

2) x2 + 3y2 − z2 + 6z = 0

3) x2

− 4x − y2 + z2 = 0

+ z

4) − x2 − 4y2 + z2 = 0

+ z2 = 0

4) 4x2

− y

Продолжение

1) 5x2 + y2 − 3z2 = 0

1) x2 − y + (z + 1)2 = 0

2) 4 y2 − 2 z2 = 1

2) x = −

1 −

−

3) x2 − 3 y2 − z 2 = 0

3) x2 + 4x − y = 0

4) x2 + 2 y2 + z2 − 4 y − 2 = 0

4) −

−

+ z2 = 1

1) x2 − 4 y2 + 5z2 = 0

1) z = x − 4 y2

2) x2 − 4x − y2 + z2 = −3

−

+ z2 = 1

3) y =

3) − 2x

+ y

+ 4z

= 0

+ z2 = 1

4) x2 − 6x + 4z2 = 0

1) z2 − 4 y = 0

1)z =

x − 9 y 2

2) y = 2

+ z2 −1

x2 − 4x − y 2 = 0

3)x2 + 6 y 2 + 3z 2 = 12

= 1

4)x2 − 2 y 2 + 2x + z 2 = 0

4 16

4) − x2 − 4 y2 + z2 + 4z = 0

Примерный вариант

Даны уравнения.

= 1,

= z,

−

= 1,

5) −

= z.

3) −

−

= 1,

Выясните, какие поверхности описывают уравнения. Сделайте чертеж.

Построим координатные сечения этой поверхности.

Сечение плоскостью YOZ

Сечение плоскостью XOZ

х = 0
у2		z2
	+		= 1
16	+	9	= 1
16		9

y = 0
x2			z2
		+		= 1
	4		9

Сечение плоскостью XOY	z = 0
	x2			y2
	x2			y2
			+		= 1
		4	+	16	= 1
		4		16

Все сечения

2) x2 + y2 − z2 = 1– однополостный гиперболоид с центром в на-

9 4 9

чале координат. Построим координатные сечения этой поверхности и сечения, параллельные координатным.

Сечение плоскостью XOY

z = 0
x2			y2
		+		= 1
	9		4

Сечение плоскостью XOZ

y = 0
x2			z2
		−		= 1
	9		9

Сечение плоскостью YOZ

х = 0
у2		z2
	−		= 1
4	−	9	= 1
4		9

Сечение плоскостью z = 3, параллельной ХOY

z = 3
x2		y2
	+		= 1
		8
18

Сечение плоскостью z = –3, параллельной ХOY

z = −3
x2		y2
	+		= 1
		8
18

Все сечения

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Matematika

#
22.03.2015207.39 Кб23Вопросы для подготовки к экзамену.pdf
#
22.03.2015697.77 Кб20Выписка из рабочей программы учебной дисциплины.pdf
#
22.03.2015444.67 Кб28Индивидуальное домашнее задание.pdf
#
22.03.2015327.61 Кб26Математика. Методические указания по подготовке к контрольным работам, часть 1.pdf
#
22.03.2015374.4 Кб41Математика. Сборник заданий, часть 1.pdf
#
22.03.20151.32 Mб33Математика. Сборник заданий, часть 2.pdf
#
22.03.2015765.23 Кб29Математика. Сборник заданий, часть 3.pdf