19.1. Метод искусственного базиса
Исходную ОЗЛП представленную в виде:
при условии хi >0 и
(6)
заменяем расширенной задачей следующим образом:
а) Свободные члены ( bi ) должны быть неотрицательны.
б) К каждому уравнению добавляется по одной неотрицательной переменной zi (i=1,2,….m)
в) К целевой функции добавляем сумму переменных zi, умноженную на большое число М (допустим на три порядка больше коэффициентов ai, bi, ci)
В результате получаем:
F = min [(c1x1+….+cnxn)+M(z1+z2+…+zm)]
при условии хi > 0 и ограничениях:
(7)
где
В задаче (7) опорное решение получим, приняв в качестве базисных переменных уi,. Оно имеет вид при х1,…..xn =0; у1=b *1;…. уm = b*m
Пример.
Определить состав продуктов на сутки, содержащий необходимые питательные вещества и обеспечивающий минимальную общую стоимость продуктов.
Таблица 2. Содержание
питательных веществ в 1 кг продуктов.
|
Питательные вещества |
Нормы суточной потребности |
Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов |
||||
|
Молоко |
Масло |
Сыр |
Крупа |
Картофель |
||
|
Белки, г |
118 |
30 |
70 |
260 |
130 |
21 |
|
Жиры ,г
|
56 |
40
|
865 |
310
|
30 |
2
|
|
Углеводы, г
|
500 |
50 |
6 |
20 |
650 |
200 |
|
Минеральные вещества, г |
8
|
7
|
12 |
60
|
20 |
70
|
|
Стоимость 1 кг продукта |
|
8 |
60 |
70 |
10 |
4 |
|
Количество продуктов |
|
х1
|
х2 |
х3
|
х4 |
х5
|
Составляем математическую модель.
Целевая функция имеет вид:
При ограничениях:
Выразим у1 – у4 через основные переменные
Найдем значение целевой функции при x1=x2= x3= x4= x5=0 (свободные переменные)
Таблица 3. Начальный опорный план задачи.
|
Коэффициенты целевой функции |
-127 |
-953 |
-650 |
-830 |
-293 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
План |
Базисные переменные |
Значения базисных переменных |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
y1 |
y 2 |
y3 |
y4 |
zi |
|
1 |
y1
y2
y3
y4
|
118
56
500
8 |
30
40
50
7 |
70
865
6
12 |
260
310
20
60 |
130
30
650
20 |
21
2
200
70
|
1
0
0
0 |
0
1
0
0 |
0
0
1
0 |
0
0
0
1
|
|
|
Индексная строка |
F(X) |
682М |
127М |
953М |
650М |
830М |
293М |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Где М = 100000