20. Отыскание оптимального плана. Условия оптимальности.
Предположим, что общая задача линейного программирования:
обладает планами и каждый её опорный план не вырожденный. В этом случае для опорного плана имеем выражение:
где хi > 0, а Z(х0) – значение линейной функции, соответствующее данному опорному плану.
Разложение любого вектора
по
векторам данного базиса единственное.
По этому разложению
в
базисе соответствует единственное
значение линейной функции.
Если в неё в место неизвестных подставить
соответствующие коэффициенты для
разложения базиса j-
го вектора по векторам базиса, через сj
обозначим коэффициент линейной функции,
соответствующий вектору
,
тогда справедлива следующая теорема:
Если для некоторого вектора Аj выполняется условие zj – cj > 0, то план x0 не является оптимальным и можно построить такой план Х, для которого выполняется неравенство Z`(x) < Z(x0).
Следствие: Если для некоторого плана Х0 разложение всех векторов Аj по векторам данного базиса удовлетворяет условию
zj – cj ≤ 0 (7)
то план x0 является оптимальным.
Неравенство (7) является условием оптимальности плана задачи, решаемой на отсекание минимума, а значения zj – cj являются оценками плана.
Таким образом, для того, что бы план Х был оптимален, необходимо и достаточно, что бы его оценки были не положительными.
Условия оптимальности плана задачи на отыскание максимума минимума функции.
Для того чтобы план задачи на максимум был оптимален необходимо и достаточно что бы все оценки zj – cj были не отрицательны.