Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МОТС / Часть2 / 24. Входящий поток

.doc
Скачиваний:
36
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
69.63 Кб
Скачать

24. Входящий поток требований

24.1 Структура СМО

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность тре­бований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономер­ностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также ин­тервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хоро­шо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называет­ся простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

  1. Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных перио­дов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

  2. Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную не­зависимость поступления того или иного числа требований на обслужи­вание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от чис­ла требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Напри­мер, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день ме­сяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

  3. Свойством ординарности, которое выражает практическую невозмож­ность одновременного поступления двух или более требований (вероят­ность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

Поскольку цель функционирования любой обслуживающей системы заключается в удовлетворении заявок (требований) на обслуживание, поток заявок (требований) является одним из основных и наиболее важных понятий теории массового обслуживания. Нужно научиться количественно описывать входящий поток требований, но для этого следует выяснить его характер и структуру.

Практически любой поток требований, поступающий в систему обслуживания, является случайным процессом. Действительно, если мы примем t=0 за начальный момент, то во многих потоках (кроме того случая, когда требования поступают строго по расписанию) либо нельзя, либо довольно трудно точно предсказать момент поступления очередного требования, а также моменты поступления последующих требований. Например, нельзя точно указать моменты прихода клиентов в ателье, пациентов в больницу, поступления вызовов на АТС, оборудования в ремонтную мастерскую и т. д.

Следовательно, моменты поступления заявок, равно и интервалы между ними, есть, вообще говоря, независимые случайные величины. Тогда процесс поступления требований в систему массового обслуживания следуя рассматривать как вероятностный или случайный процесс. Обозначим такой процесс через Х(t). Эта функция определяет число требований, поступивших в систему за промежуток времени [0,t]. Для каждого фиксированного t функция Х(t) есть случайная величина. Действительно, если выбрать промежутки времени даже одинаковой продолжительности, то в этом случае нельзя быть уверенным в том, что в каждый из этих промежутков поступит одно и то же число требований.

Рис. 24.2.

За промежуток времени [0, t] может не поступить ни одной заявки, а может поступить 1, 2,... заявок. Но какой бы продолжительности промежутки времени мы не выбирали, число заявок будет только целым.

Поток требований можно представить в виде графика одной из реализаций случайной величины функции Х(t), принимают лишь целые неотрицательные значения. При этом график (рис. 24.2) представляет ступенчатую линию со скачками, равными либо единице, либо нескольким единицам в зависимости от того, поступают ли требования по одному или группами. Таким образом, случайный процесс Х(t), обладает следующими особенностями.

1. При всяком фиксированном t функция Х(t), принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2,...,R,... и с возрастанием не убывает.

2. Число требований, поступивших за промежуток вре­мени [0, t], зависит от длины этого промежутка, т. е. от значе­ния t.

3. Реализации процесса представляют собой ступенчатые линии, чем-то непохожие одна на другую. Из теории случайных процессов известно, что процесс будет полностью определен с вероятностной точки зрения, если будут известны все его много­мерные законы распределения:

(1)

Однако отыскание такой функции в общем случае является весьма трудной, а иногда неразрешимой задачей. Поэтому на прак­тике стараются использовать процессы, которые обладают свой­ствами, позволяющими найти более простые способы их описания. К таким свойствам относятся:

— стационарность (лучше однородность во времени);

— отсутствие последействия (марковость), иногда говорят об отсутствии памяти;

— ординарность.

Перечисленные свойства были рассмотрены выше при изучении стационарных и марковских процессов, поэтому здесь лишь напом­ним суть этих свойств в терминах теории массового обслуживания.

Поток требований называется стационарным или однородным во времени, если вероятность поступления определенного количе­ства требований в течение определенного промежутка времени за­висит только от длины промежутка, а не от его временного положения (иначе говоря, не зависит от начала отсчета). Таким обра­зом, для стационарного потока вероятность того, что за промежу­ток [0, t] поступит ровно R требований, равна вероятности поступле­ния R требований за промежуток [а, а + t], где а>0, т. е.

(2)

Это означает, что вероятностные характеристики потока (парамет­ры закона распределения) не должны изменяться во времени.

Свойством стационарности обладают многие реальные потоки требований, если рассматривать их в течение непродолжительных периодов. К таким потокам можно отнести: поток вызовов на АТС в определенные промежутки времени, поток покупателей в магазин, поток радиоаппаратуры, нуждающейся в ремонте, интенсивность движения пассажиров и т. п. Однако некоторые из перечисленных потоков изменяются в течение дня (вероятность вызовов в ночное время меньше чем днем, часы «пик» в работе городского транс­порта).

В некоторых потоках число требований, поступивших в систему после произвольного момента времени, не зависит от числа ранее поступивших требований и моментов их поступления, т. е. интер­валы между поступлениями требований считаются независимыми величинами и между ними нет связи. Будущее состояние системы не зависит от прошлого ее состояния. Поток, обладающий таким свойством, называют потоком без последействия или марковским. Свойство отсутствия последействия (отсутствия памяти) присуще многим реальным потокам. Например, поток вызовов на АТС является потоком без последействия, поскольку, как правило, оче­редной вызов поступает независимо от того, когда и сколько было вызовов до этого момента.

В целом ряде случаев характер потока требований таков, что одновременное появление двух или большего числа требований невозможно или почти невозможно. Поток, обладающий таким свойством, называется ординарным.

Если РR >2(h)—вероятность появления за промежуток h более одного требования, то для ординарного потока должно быть:

,

т. е. ординарность потока требует, чтобы вероятность появлений более одного требования за малый промежуток времени h была бы бесконечно малой величиной более высокого порядка чем h. В одних реальных потоках это свойство является очевидным, а в других мы принимаем его с достаточно хорошим приближением к действительности. Классическими примерами такого потока являются поток вызовов на АТС и поток клиентов в ателье.

Поток требований, обладающий тремя перечисленными свойствами, называется простейшим. Можно показать, что всякий простейший поток описывается процессом Пуассона. С этой целью напомним определение процесса Пуассона, принятое в теории случайных функций.

Случайный процесс X(t) (0≤t<∞) целочисленными значениями называется процессом Пуассона, если он является процессом с независимыми приращениями или если любое приращение процесса за промежуток времени h распределено по закону Пуассона с параметром λh, где λ>0 т.е.

(3)

В частности, если t=0, X(0)=0, то (3) переписывается сле­дующим образом:

(4)

Здесь Vr(h) означает вероятность того, что интересующее нас событие произойдет ровно R раз за промежуток времени h (с точки зрения теории массового обслуживания Vr(h) опреде­ляет вероятность того, что за промежуток времени h в систему обслуживания поступит ровно R требований).

Смысл параметра X легко выяснить, если найти математиче­ское ожидание пуассоновского процесса: М [Х(t)]=М. При t = 1 получаем М[Х(1)]=1. Следовательно, есть среднее число заявок за единицу времени. Поэтому величину λ часто называют интенсивностью или плотностью потока.

Из определения процесса Пуассона немедленно вытекают три свойства, идентичные указанным выше:

1) Независимость приращений. В независимости приращений для процесса Пуассона заключается отсутствие последействия— марковость процесса.

2) Однородность во времени. Это означает, что вероятности Vr(h) не зависят от начального момента t рассматриваемого промежутка [t, t+h], а зависят только от длины промежутка h:

3)Ординарность. Ординарность процесса Пуассона означает практическую невозможность поступления группы требований в один и тот же момент.

Итак, одновременное поступление двух и более требований за малый промежуток времени h маловероятно, поэтому

что указывает на ординарность процесса Пуассона.

Таким образом, мы установили, что поток, описываемый процессом Пуассона, является простейшим. Однако справедливо и обратное предположение, что простейший поток описывается процессом Пуассона. Вследствие этого простейший поток часто называют так же пуассоновским потоком. Пуассоновский процесс в теории массового обслуживания занимает особое место, аналогичное тому, какое в теории вероятностей среди других законов распределения занимает нормальный закон. И дело не в том, что он описывается математически наиболее просто, а в том, что он наиболее распространен. Пуассоновский поток является предельным (асимптотическим потоком при объединении большого числа других потоков).