МОТС / Часть2 / 17. Свойства решений задачи ЛП

17. Свойства решений задачи линейного программирования

Отметим некоторые свойства решений ОЗЛП:

1. Решение задачи ЛП, если оно существует, не может лежать внутри области допустимых решений, а только на ее границе.

2. Решение ОЗЛП может быть и не единственным.

3. Если основная прямая параллельна той стороне многоугольника допустимых решений, где достигается минимум, то он достигается не в одной точке, а на всей этой стороне. В этом случае задача ЛП имеет бесчисленное множество оптимальных решений.

4. Задача ЛП может не иметь решения даже в случае, когда существует область допустимых решений.

5. Это бывает тогда, когда в направлении стрелок область допустимых решений неограниченна, т. е. в области допустимых решений линейная функция неограниченна снизу. Перемещая основную прямую в направлении стрелок, мы будем получать все меньшие и меньшие значения производной, а значит, и самой функции.

6. Решение задачи ЛП, минимизирующее функцию (оптимальное решение), всегда достигается в одной из вершин многоугольника допустимых решений (если оно достигается на целой стороне, то оно же достигается и в каждой из вершин, через которые проходит эта сторона). Решение, лежащее в одной из вершин область допустимых решений, называется опорным решением, а сама вершина-опорной точкой.

7. Для того, чтобы найти оптимальное решение, в принципе достаточно перебрать все вершины области допустимых решений (опорные точки) и выбрать из них ту, где функция достигает минимума.

8. Если число свободных переменных в задаче ЛП равно n, а число базисных - т и решение задачи ЛП существует, то оно всегда достигается в точке, где по крайней мере две из переменных x₁,x₂,...x_n обращаются в нуль. Действительно, в любой опорной точке пересекаются, по крайней мере две из ограничивающих прямых; однако в ней могут пересекаться и более двух.