3

2.

Рассмотрим интегралы вида

∫ (

√(

)

√(

)

√(

) ) .

(1.5)

Они вычисляются с помощью замены √

, как и в предыдущем случае, но

- об-

щий знаменатель дробей

,

,…,

.

1.11. Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок

Рассмотрим интегралы вида

∫ (

√

)

,

(1.6)

где

и

.

Выделяя полный квадрат в выражении

,

сведем интеграл (1.6) к одному

из следующих трех видов:

∫ ( √

) ,

∫ ( √

) ,

∫ ( √

) .

Первый интеграл

вычисляется с помощью замены

. По формуле замены

переменной (п. 1.6) получаем:

∫ ( √

)

[

| √

√

]

∫

(

)

.

Второй интеграл

вычисляется с помощью замены

:

√

∫ ( √

)

[

|√

]

∫

(

)

.

Третий интеграл

вычисляется с помощью замены

:

∫ ( √

)

[

|√

√

]

∫ (

)

.

рывно-дифференцируемой.

Теорема. Пусть

функция

( ) непрерывна на отрезке

[

], функция x (t)

непрерывно дифференцируема на отрезке [ , ] . Причем,

( )

a,

( ) b . Пусть, кро-

ме того, функция (t)

отображает отрезок [ , ] на отрезок [

]. Тогда верна формула

b

(2.1)

f (x) dx f (t) (t) dt .

a

Пусть функции u u(x) и v v(x)

непрерывно дифференцируемы на отрезке [

].

Тогда верна формула

b

b

u dv u v

ba

v du .

(2.2)

a

a