43. Означення та властивості таких чотирикутників як: прямокутник, ромб, квадрат.

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполуча­ють. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні пере­тинатись. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.

Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Властивості прямокутника

Теорема 1. У прямокутника протилежні сторони рівні: AB=CD , BC=AD. У прямокутника протилежні кути рівні: ,. Теорема 2. У прямокутника кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють :;;;. Теорема 3. Діагоналіпрямокутника перетинаються й у точці перетину діляться нав­піл. . Теорема 4. Діагональпрямокутника поділяє його на два рівні трикутники. Теорема 5. Діагоналі прямокутника розбивають його на дві пари рівних трикутників.

Теорема6. Діагоналі прямокутника рівні.

Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Властивості прямокутника

Теорема 1. У ромба протилежні сторони рівні: AB=CD , BC=AD. У ромба протилежні кути рівні: ,. Теорема 2. Уромба кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють :;;;. Теорема 3. Діагоналіромба перетинаються й у точці перетину діляться нав­піл. . Теорема 4. Діагональромба поділяє його на два рівні трикутники. Теорема 5. Діагоналі ромба розбивають його на дві пари рівних трикутників.

Теорема 6. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Теорема 7. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники.

Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Властивості квадрата

Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо: 1) у квадрата всі сторони рівні; 2) у квадрата всі кути рівні; 3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів; 4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикут­ники.

44. Трикутник вписаний в коло і описаний навколо нього.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотика­ється до всіх його сторін.

Теорема. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.

Доведення. Нехай АВС — даний трикутник, О — центр вписа­ного в нього кола, D, E, F — точки дотику кола із сторонами (мал. 98).

Прямокутні трикутники АОD і АОЕ рівні за гіпотенузою і катетом. У них гіпотенуза АО спільна, а катети OD і ОЕ рівні як радіуси. З рівності три­кутників випливає рівність кутів ОАD і ОАЕ. А це означає, що точка О лежить на бісектрисі трикутника, проведеній з вершини А. Так само доводимо, що точка О лежить на двох інших бісек­трисах трикутника. Теорему доведено.

Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі його вершини.

Теорема. Центр кола, описаного навколо трикутни­ка, точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутника, проведених через середини цих сторін.

Доведення. Нехай А ВС — даний трикутник і О — центр описаного навколо нього кола (мал. 93). Трикутник АОС — рівнобедрений; у ньому сторони О А і ОС рівні як радіу­си. Медіана ОD цього трикутника одночасно є його висотою. Тому центр кола лежить на прямій, яка перпендикулярна до сторони АС і проходить через її середину. Так само доводимо, що центр кола лежить на перпендикулярах до двох інших сто­рін трикутника. Теорему доведено.

Зауваження. Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, часто називають серединним перпендикуляром. У зв’язку з цим інколи говорять, що центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін трикутника.