60.Основні способи доведення теорем. Метод доведення від супротивного. Пропедевтика доведень в початковому курсі математики.

Метод доведення від супротивного ґрунтується на законі математичної логіки – законі виключення третього: А v Ξ I

Із двох супротивних тверджень істинним може бути тільки одне з них.

Цей метод вводиться вже в 7 класі на початку навчання курсу планіметрії. Його логічною основою є закон виключення третього: з двох супротивних тверджень одне завжди правильне, друге - неправильне, а третього бути не може. Завдяки цьому закону замість доведення певного твердження під час використання методу доведення від супротивного доводять, що супротивне йому твердження — неправильне, і на цій підставі роблять висновок, що правильне доводжуване. твердження.

Цей спосіб доведення складається з таких етапів.

1. Припускають протилежне тому, що стверджується теоремою.

2. На основі припущення, спираючись на аксіоми і вже доведені теореми, роблять висновки.

3. Знаходять, у чому цей висновок суперечить умові, якійсь аксіомі або доведеній раніше теоремі.

4. Роблять висновок, що зроблене припущення неправильне, а тому правильне твердження теореми.

Особливо часто використовують цей спосіб доведення, коли треба довести єдиність якого-небудь об’єкта. (Припускають протилежне, тобто що таких об’єктів хоча б два.)

Приклад. Довести, що в трикутнику може бути тільки один тупий кут.

Доведення:

1) Припустимо, що в трикутнику є два тупих кути.

2) Тоді сума кутів трикутника більша за 180˚ , тому що міра тупого кута більша за 90˚.

3) Зроблений висновок суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

4) Отже, наше припущення неправильне, а правильне те, що треба було довести.

Пропедевтика доведень. Обучение доказательствам в школьном курсе математики традиционно начинается в 7 классе, в ходе изучения систематического курса геометрии. Доказательство теорем и решение задач, в формулировке которых используется слово «доказать», появляются как абсолютно новая форма работы. У большинства детей доказательства вызывают трудности, которые кажутся непреодолимыми.

Неподготовленность к доказательствам - одна из важнейших причин возникновения трудностей в 7-м классе. Исследования школы Выготского позволяют утверждать, что подготовку можно и нужно начинать уже в начальной школе. Анализ программ и действующих учебников показывает, что материал курса математики начальной школы дает для пропедевтики обучения доказательствам самые широкие возможности.

Во всех классах, в том числе и в начальных, полезно давать задачи повышенной трудности стимулирующие математическое развитие и интерес к математике. Среди них достойное место могут занимать задачи на доказательство, сформулированные в общем виде. Рассмотрим в виде примера задачу: «Докажи, что площадь квадрата со стороной а равна площади прямоугольника, одна сторона которого в 2 раза больше стороны квадрата, а вторая – в 2 раза меньше стороны квадрата» .

Рассуждения могут быть такими. Площадь квадрата со стороной а равна произведению а × а. Площадь треугольника, у которого стороны равны 2 × а и а, равна (2 × а)× а, то есть в 2 раза больше площади квадрата а × а. Площадь треугольника, у которого одна сторона равна 2 × а, вторая равна а, в 2 раза меньше площади треугольника со сторонами 2 × а и а, то есть равна площади квадрата со стороной а. Что и требовалось доказать.

Данный вид работ, учит детей грамотно формулировать мысли, обосновывать выводы, способствует развитию логического мышления. Все это необходимо не только для пропедевтики обучения доказательствам, но и является важнейшим показателем успешности обучения в начальной школе.