Приклади типових завдань.
1. Розрахувати економетричну модель парної регресії між факторами Х і Y:
Ŷ = ǎ0 + ǎ1·х. Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ0 , ǎ1.
Розрахувати за нею прогнозоване значення залежного фактора Y пр
Побудувати графік моделі парної регресії в кореляційному полі – “хмарі розсіювання”.
Розрахувати коефіцієнт детермінації R2 і коефіцієнт кореляції R. . Який зміст цих коефіцієнтів ?
Оцінити якість отриманої моделі за F-, t – критеріями з рівнем значущості α = 0,05.
.
у |
60 |
61 |
59 |
58 |
62 |
63 |
65 |
60 |
68 |
70 |
х |
30 |
35 |
33 |
34 |
36 |
38 |
40 |
41 |
45 |
45 |
Х – витрати на маркетинг, (тис. грн..), Y – прибуток , (млн. грн.).
2. В результаті дослідження чинників економічного зростання побудовано таку модель (обсяг вибірки – 73 країни):
Y = 1,4 – 0,52X + 0,17 X + 11,16 X – 0,38 X – 4,75 X + ,
(5,9) (4,34) (3,91) (0,79) (2,7)
де Y – темп росту середнього значення ВВП на душу населення у % до базового періоду;
X – реальні середні значення ВВП на душу населення, %;
X – бюджетний дефіцит у % до ВВП;
X – обсяг інвестицій, % до ВВП;
X4 – зовнішній борг, % до ВВП;
X – рівень інфляції, %.
В дужках вказані спостережувані значення t-критерія. Відомий також коефіцієнт детермінації R2 = 0,78.
Перевірити загальну якість даної моделі.
Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості = 0,05 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.
Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі при рівні надійності = 0,95.
Визначити частинні коефіцієнти еластичності.
5) Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ0 , ǎ1.
3. Побудовано модель залежності середньомісячної ринкової ціни акцій підприємства (Y, грн./акція) від обсягу сплачених дивідендів на акцію (Х1, грн./місяць) та обсягу коштів, спрямованих підприємством на розширення виробництва (Х2, сотні тис. грн. /місяць):
yi = 2,4 + 1,6 хi1 + 0,9 хi2 + еi.
Відомо також, що =10,5, ,n = 20.
1) Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ0 , ǎ1.
2) Побудувати точковий та інтервальні прогнози для залежної змінної, якщо хпр.1 = 10, хпр.2 = 2, а рівень надійності = 0,95.
0,140967 |
-0,41125 |
0,882323 |
-21,1336 |
0,076457 |
0,289052 |
0,215299 |
9,011057 |
0,973764 |
1,188204 |
# н/д |
# н/д |
148,4617 |
12 |
# н/д |
# н/д |
628,808 |
16,94196 |
# н/д |
# н/д |
4. Розрахована регресійна модель залежності прибутку (Y) від інвестицій (Х1), основного фонду виробництва ( Х2 ), фонду робочого часу (Х3) за 20 спостереженнями:
.
1. Перевірити загальну якість даної моделі.
2. Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості = 0,05 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.
3. Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі.
4. Визначити частинні коефіцієнти еластичності.
5. Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ0 , ǎj.
5 . Аналізується прибуток підприємства Y ($ млн.) в залежності від витрат на рекламу Х ($ млн.). За спостереженнями на протязі 9 років отримані наступні дані:
Y |
5 |
7 |
13 |
15 |
20 |
25 |
22 |
20 |
17 |
X |
0,8 |
1 |
1,8 |
2,5 |
4 |
5,7 |
7,5 |
8,3 |
8,8 |
1) Побудуйте кореляційне поле і висуньте гіпотезу, щодо виду залежності між показниками.
2) Оцініть за МНК параметри лінійної регресії Y = .
3) Оцініть якість побудованої регресії.
4) Знайдіть за допомогою МНК оцінки параметрів регресії Y = .
5) Оцініть якість побудованої моделі. Яку з моделей варто обрати для подальшого дослідження?
6. Для двох видів продукції А і В моделі залежності питомих постійних витрат від об’єму випущеної продукції мають вигляд: YА = 80 + 0,7х, YВ= 40
1) Визначити коефіцієнти еластичності по кожному виду продукції та пояснити їх зміст.
2) Порівняти еластичність затрат для обох видів продукції при х =1000.
3) Визначити, яким повинен бути об’єм випущеної продукції, щоб коефіцієнти еластичності для продукції А та В стали рівними.
7. Нехай Y = , де С – фіктивна змінна, що відображає стать суб’єкта дослідження (С=0 для жінок і С =1 для чоловіків).
Середнє значення змінної Y для 15 чоловіків дорівнює 5, для 25 жінок – 3. При цьому відомо, що дисперсія залишків становить 64.
Визначте оцінку коефіцієнтів a^0 та .
8. При аналізі залежності заробітної плати (S) 70 співробітників фірми (45 чоловіків і 25 жінок) від стажу роботи (Т) на фірмі отримані наступні регресійні моделі:
S = 50+ 0,12 Т, R2 = 0,63, t = (5,23) (9,35).
S = 30 + 0,092 T + 25D, R2 = 0,72, t = (4,63) (4,3) (6,23).
S = 25 + 0,078 T+32D + 0,07T ·D, R2 = 0,912, t = (3,07) (3,73) (2,93) (1,98)
де D - фіктивна змінна, що відображає стать співробітника.
а) Яка з регресій (1 або 2), (2 або 3) з вашого погляду є більш раціональною?
б) Які похибки при виборі регресії 1 допускаються?
в) Поясніть зміст кожного з коефіцієнтів у рівнянні регресії.
г) Якою буде середня зарплата співробітника – чоловіка і жінки зi стажем роботи у 15 років?
9. В нижченаведеній таблиці Y – місячний обсяг попиту на товари першої необхідності сім’ї з трьох чоловік (ум. гр. од.), Х – місячний рівень доходу сім’ї (ум. гр. од.):
Х |
2,5 |
1,4 |
0,9 |
2,7 |
1,8 |
2,2 |
2,4 |
1,9 |
1,6 |
1,2 |
Y |
0,8 |
1,1 |
0,7 |
0,9 |
1,0 |
1,2 |
0,9 |
0,6 |
0,7 |
0,5 |
Перевірити, яка з моделей краще наближає емпіричні дані: лінійна, степенева чи гіперболічна. Перевірити статистичну значущість зв’язку в кожній з цих моделей.
10. Відомі дані щодо середньомісячного рівня зайнятості (Х, %) та рівня інфляції (Y, %):
Х |
32 |
35 |
36 |
34 |
38 |
36 |
37 |
40 |
Y |
5,4 |
6,1 |
6,2 |
5,8 |
6,3 |
6,0 |
5,9 |
6,3 |
Побудувати гіперболічну модель, визначити коефіцієнт детермінації та коефіцієнт еластичності.
11.. За даними 15 років побудовані два рівняння регресії:
1) Y = 3,435 - 0,5145Х+ ε, R2 = 0,6748; t = ( 20,5 ) ( 4.3)
2) 1n Y = 0,851 - 0,2514Х + ε, R2 = 0,7785, t = (43,6) (5,2)
де Y - щоденне середньодушове споживання кави (у чашках 100г),
X - середньорічна ціна кави ( грн/кг).
а) Проаналізуйте коефіцієнти кожної з моделей.
б) Чи можна за визначеними моделями визначити, чи є попит на каву еластичним?
в) Яка модель, з вашого погляду, є переважнішою? Чи можна обґрунтувати висновок за коефіцієнтами детермінації?
Для 3-х пояснюючих змінних обчислено кореляційну матрицю r. Чи існує в масиві змінних мультиколінеарність? За оберненою до неї матрицею оцінити попарну мультиколінеарність змінних для 15 спостережень і 95% надійності:
13. Відомі дані щодо місячного обсягу прибутку 15 підприємств галузі – Х (млн.грн), та обсягу дивідендів, сплачених цими підприємствами за місяць – Y (млн.грн):
Х |
3 |
5 |
8 |
10 |
12 |
14 |
7 |
6 |
9 |
10 |
5 |
7 |
4 |
12 |
15 |
18 |
Y |
0,2 |
1,2 |
4,0 |
1,5 |
2,0 |
3,5 |
0,8 |
2,2 |
1,4 |
5,0 |
2,1 |
1,8 |
2,3 |
8 |
1,6 |
10 |
Побудувати модель парної лінійної регресії. Перевірити за тестом Гельдфельда-Квандта, чи виконується умова гомоскедастичності залишків.
14. Обчислити коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку:
u |
-0,58 |
-0,97 |
-0,02 |
0,04 |
-0,02 |
0,31 |
-0,25 |
0,86 |
-0,42 |
0,37 |
0,68 |
Зробити висновки щодо наявності автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона.
Зразок екзаменаційного білету
1. Використання економетричних моделей для прийняття управлінських рішень та прогнозування.
2. Врахування якісних факторів в лінійних економетричних моделях за допомогою фіктивних змінних.
3. Поняття системи одночасних економетричних рівнянь.
4. Розрахувати економетричну модель парної регресії між факторами Х і Y:
Ŷ = ǎ0 + ǎ1·х+ u .
Побудувати графік моделі парної регресії в кореляційному полі.
Розрахувати за нею прогнозоване значення залежного фактора Yпр
Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ0 , ǎ1
у |
60 |
61 |
59 |
58 |
62 |
63 |
65 |
60 |
68 |
х |
7,0 |
7,5 |
8,0 |
9,0 |
10,0 |
11,0 |
9,5 |
12,0 |
9,0 |
Х – енергомісткість праці на 1 робітника (кВт/ роб),
Y – продуктивність праці (тис. грн./роб.).
5. Для 30 підприємств галузі була досліджена залежність річного обсягу випуску продукції Y (млн. грн.) від чисельності працюючих на виробництві Х1 (чоловік) та середньорічної вартості основних фондів Х2 (млн. грн.) :
-
Коефіцієнт детермінації
Коефіцієнт кореляції
0,76
Загальна лінійна модель
Y = ...+ 0,39Х1 +32 Х2
Стандартні похибки оцінок
3 0,08 ...
t-kp
1,5 ... 4
оцінити якість моделі за допомогою R2 і R,
значущість оцінок параметрів моделі за Т-, F-критеріями ,
побудувати 95% інтервали надійності оцінок параметрів моделі,
охарактеризувати економічний зміст коефіцієнтів моделі.
6. Обчислити коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку:
u |
-0,38 |
-0,87 |
-0,02 |
0,04 |
-0,02 |
0,33 |
-0,25 |
0,66 |
-0,22 |
0,57 |
0,18 |
Зробити висновки щодо наявності автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона для регресійної моделі із 2-ма змінними.