3.6. Полная система граничных условий.

Граничные условия на поверхности идеального проводника

(1)

Отсутствующие граничные условия являются следствием приведенных, при использовании материальных уравнений

Частный случай, когда на границе раздела отсутствуют поверхностные заряды и поверхностные токи выглядит следующим образом:

(2)

Система (1) может быть записана в векторной форме:

(3)

Соотношения (1) и (3) применимы в самом общем случае. В ряде случаев эти условия могут быть упрощены. Обычно при решении электродинамических задач, в которых присутствуют металлические тела, обычно предполагают, что проводимость этих металлических тел равна бесконечности. Известно, что в идеально проводящих средах электромагнитное поле отсутствует. Упрощенно, это можно показать: закон Ома в дифференциальной форме

.

В идеально проводящих средах  =. Объемная плотность не может быть равна бесконечности, т.е. вынуждены предположить, что . Пусть идеально проводящей является 2 среда, тогда соотношения(1) и (3) будут выглядеть:

(4)

(5)

Для переменного электромагнитного поля .

2 уравнение Максвелла: , где.

Это получится, если .

Из соотношений (4) и (5) следует, что на поверхности идеального проводника тангенциальная составляющая и нормальнаяобращаются в нуль.

Раздел 4 Энергия электромагнитного поля.

3. 4.1. Баланс энергий электромагнитного поля.

Как и любая форма материи, электромагнитное поле обладает энергией, которая может распространяться в пространстве и преобразоваться в другие виды энергии.

Сформулируем уравнение баланса электромагнитного поля применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S. Пусть, в этом объеме, за счет сторонних источников, выделяется электромагнитная энергия. Из общефизических соображений, очевидно, что мощность сторонних источников будет расходоваться на потери, на изменение энергии и частично будет рассеиваться на поверхности S, уходя во внешнее пространство.

Будем полагать, что среда в объеме V однородная и изотропная. Мощность в объеме V выделяется за счет протекания сторонних токов, в дальнейшем будем пользоваться известными материальными уравнениями:

(1)

; ;(2)

Материальные уравнения в форме (2) не позволяют учесть потери связанные с явлением поляризации и намагничивания вещества. Уравнение баланса в форме(1) дает качественное представление о балансе энергии. Для получения уравнения необходимо перейти к векторам электромагнитного поля, т.е. воспользоваться уравнениями Максвелла. Для получения количественного соотношения обратимся к уравнениям Максвелла.

Запишем первое уравнение Максвелла с учетом сторонних токов:

(3)

Размерность входящих в (3) составляющих . Они являются векторными величинами.

Для получения уравнения, аналогичного (1), надо уравнение (3) преобразовать в скалярное и обеспечить размерность слагаемых в Ваттах. Указанный алгоритм можно реализовать, если каждое из слагаемых умножить скалярно на и проинтегрировать по объему.

Умножим все составляющие на Е, получим:

(4)

Преобразовав левую часть (4) используем известное векторное тождество:. Из полученного тождества вытекает следующее выражение:(5)

Выразим, используя второе уравнение Максвелла:

; (6)

Подставляя правую часть (6) в левую часть (4) получим:

(7)

Преобразуем предыдущее выражение следующим образом:

Также (7) можно записать следующим образом:

(8)

(9)

В последнем соотношении (9) мы сделаем следующее:

1. поменяем порядок дифференцирования по времени, и интегрирования по объему.

2. При интегрировании по объему воспользуемся теоремой Остроградского - Гаусса.

Для цилиндрического проводника с током I: .

Для элементарного цилиндрического проводника, концы которого перпендикулярны линиям тока:

(10)

Для произвольного объема:

(11)

В выражении (11) первый интеграл это мощность потерь.

В левой части (9) стоит мощность, выделяемая сторонними токами в объеме V. Ток проводимости, который представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц, отдает энергию электромагнитного поля, если частицы попадают в тормозящее электромагнитное поле.

Для того, чтобы электромагнитное поле было тормозящим необходимо чтобы скалярное произведение удовлетворяло следующему условию: .

При этом левая часть (9) становится положительной величиной.

Рассмотрим второе слагаемое правой части. Будем полагать, что поверхность S окружающая V является идеально проводящей

,

и проводимость среды в объеме равна нулю.

,,,

По условию поверхность S является идеально проводящей.

При этом уравнение баланса имеет следующий вид:

(12)

т.е. в рассматриваемом случае мощность сторонних источников может расходоваться на изменение энергии внутри объема. В правой части выражения (12) мы получили скорость изменения энергии .

(13)

в V=>

(14)

В этом случае мощность сторонних токов рассеиваясь на поверхности S уходит во внешнее пространство. Таким образом, мы получили, что уравнение (9) полностью идентично формуле (1).

Соотношение (9) было сформулировано Поинтингом (уравнение баланса энергии электромагнитного поля – теорема Пойнтинга).

Проанализируем несколько частных случаев,

которые следуют из теоремы Пойнтинга.

1.Энергия может поступать в объем V не только за счет сторонних источников. Поток энергии, определяемой интегралом , может быть направлен из внешнего пространства внутрь объема V.

2. Сторонние источники могут не только отдавать энергию, а также вбирать энергию электромагнитного поля. Поток заряженных частиц вбирает энергию электромагнитного поля, если этот поток попадает в ускоряющее электрическое поле. При этом скалярное произведение , а левая часть в соотношении(9) становится отрицательной величиной.

3. Пусть, поток энергии, определяемой последним слагаемым в соотношении(9), направлен внутрь объема, причем, мощность, которая поступает, таким образом, расходуется на джоулевы потери и вбирается сторонним источником так, что энергия внутри объема V остается неизменной. В этом случае соотношение(9) преобразуется к виду(15)

(15)

Так как слева стоит полная поступающая через поверхность энергия, то вектор можно трактовать как плотность потока энергии (вектор Пойнтинга).

Вектор Пойнтинга равняется пределу отношения энергии, проходящей за время Т, через поверхность S, перпендикулярно направлению распространения энергии, при S и Т стремящихся к нулю. В изотропных средах направление совпадает с направлением распространения энергии.