3.3.Условия для касательных составляющих вектора e и d

На границе раздела сред, отличающихся _а, выделим точку. Проведем через нее нормаль к поверхности S. Через эту нормаль проведем плоскость р.

На линии пересечения плоскостей выделим элементарный отрезок l, так, чтобы его можно было считать прямолинейным, и касательная, составляющая Е в I и II средах у границы раздела, была распределена равномерно. Отрезок l включает точку, в которой построили единичную нормаль. В этой точке проведем единичный векторкасательный кl и единичный векторперпендикулярный кl. В плоскости р построим контур высотой h так, чтобы участки контура CD и АВ находились в разных средах. Положительное направление обхода контура ABCD связано с направлением единичной нормали правилом правого винта. Применим к контуру ABCD 2-ое уравнение Максвелла:

(1)

Представим контур в виде суммы отрезков:

(2)

Три единичных вектора связаны векторным соотношением. В слагаемых AB и CD векторные элементы dl равны, поэтому их можно заменить:

АВ:

CD:

Найдем предел в соотношении (2) при h. Высоту уменьшим так, что бы АВ и CD были в разных средах. В пределе они совпадут с отрезкомl.

так как вектор в 1 и 2 средах, а также имеют конечное значение, то

С учетом отмеченных особенностей предельный переход при h0 ,в соотношении (2), приводит к следующему соотношению:

(3)

На границе раздела сред тангенциальная составляющая напряженности электрического поля непрерывна: (4)

Тангенциальная компонента вектора электрического смешения претерпевает разрыв, величина которого равна отношению диэлектрической проницаемости сред. Из полученных граничных условий следует, что на границе раздела сред, векторы электрического поля преломляются.

3.4. Граничные условия для векторов магнитного поля.

Условия для нормальных составляющих векторов В и Н.

Имеется некая граница раздела сред. Выделяем на ней элементарную площадку S. Размеры малы на столько, что в пределах этой площадки нормальная компонента распределена равномерно. Строим на основании этой площадки цилиндр.

Применим к цилиндру закон Гаусса

(1)

(2)

Во всех этих интегралах направление совпадает с внешней нормалью к цилиндру. Устремим высоту цилиндраh0 так, чтобы S₁ и S₂ находились в разных средах. Тогда:

Так как имеет конечные значения, то. В итоге получим:

(3)

(4)

Из (3)и(4)следует, что нормальная компонента вектора магнитной индукции непрерывна при прохождении границы сред. Тангенциальная компонента вектора напряженности магнитного поля непрерывна только при отсутствии на границе сред поверхностного тока.

В другом случае компонента Н претерпевает разрыв, который определяется отношением магнитных проницаемостей сред.

3.5. Условия для касательных составляющих В и Н.

Поверхностный ток.

Условия для касательных составляющих магнитных векторов выводятся также как и для электрических. Через нормаль проводим плоскость р. На линии пересечения выделяем элемент длиныl, малый настолько, чтобы в пределах этого участка касательные составляющие в 1 и 2 средах были распределены равномерно. На этом отрезке строим контур так, чтобы участки контура были в разных средах. Положительное направление обхода контура связано с этими векторами правилом правого винта. Применим к контуру первое уравнение Максвелла в интегральной форме:(1). Левую часть представим в виде суммы интегралов по участкам контура:

(2)

на участках АВ и СD может быть представлен:

Устремим h0 так, чтобы участки контура находились в разных средах. Тангенциальная составляющая распределена равномерно.

Так как векторы в 1 и 2 средах, а также векторимеют конечную величину, то

В результате предельного перехода, примененного к соотношению (2), получим

(3)

1. Пусть на границе раздела S отсутствуют поверхностные токи, тогда правая часть соотношения (3) обращается в нуль, получаем (4)

При отсутствии поверхностных токов тангенциальная компонента непрерывна при прохождении границы раздела сред.

2. Пусть на границе раздела сред S имеются поверхностные токи.

В этом случае правую часть соотношения (3)можно преобразовать

Плотность поверхностного тока распределена в пределах l равномерно (это условие является следствием исходного предположения о равномерном распределении тангенциальной составляющей в пределахl)

С учетом приведенных соотношений, предельный переход, выполненный в соотношении (3) приведет к следующему соотношению:

(5)

При наличии поверхностных токов на границе раздела тангенциальная составляющая претерпевает разрыв, величина которого определяется плотностью поверхностного тока. Используя взаимосвязь единичных векторов, соотношение(5) можно переписать в векторной форме:

(6)

Соотношения(4), (5), (6) можно переписать для магнитной индукции: (7) (8)

Из соотношений (7), (8) следует, что тангенциальные компоненты вектора магнитной индукции на границе раздела претерпевают разрыв. Наличие поверхностного тока только изменяет величину разрыва, увеличивая или уменьшая ее. Понятие поверхностного тока это удобная идеализация, упрощающая решение задач. Ток протекает в конечном, по величине, слое. Причем тангенциальная составляющая непрерывна во всех точках внутри этого слоя, но по разные стороны этого слоя тангенциальная составляющаяимеет различные значения. Поэтому, когда мы переходим к поверхностным токам, мы вынуждены предположить скачкообразное изменение тангенциальной составляющей.