2.12 Уравнения Максвелла и сторонние токи.

В правой части 1-ого уравнения Максвелла в дифференциальной форме входит векторная величина объемной плотности электрического тока, которая возбуждается в среде под действием внешнего электрического поля.

Этот ток возникает в результате воздействия электрического поля на проводящую среду. В общем случае правую часть1-ого уравнения Максвелла дополняют еще одной векторной величиной — вектором объемной плотности стороннего электрического тока, , который рассматриваютпервопричиной возникновения электрического поля в рассматриваемой части пространства.

Часто, вместо стороннего электрического тока, вводят стороннее электрическое поле (вектор напряженности стороннего электрического поля Е^ст). возбуждается сторонними электрическими токами протекающими в не рассматриваемой части пространства.

В случае постоянных процессов в качестве Е^ст понимается напряженность электрического поля сторонних Э.Д.С, которые имеют не электрическую природу (химическую, диффузионную и т.д.).

Введение исущественно упрощает решение электродинамических задач т. к. исключает детальный анализ в некоторой части пространства. Аналогично понятию сторонние электрические токи вводят понятие сторонние электрические заряды:

1 уравнение Максвелла (1)

3 уравнение Максвелла (2)

В случае переменных электромагнитных процессов сторонние токи и сторонние заряды связаны уравнением непрерывности:

.

Раздел 3. Граничные условия.

3.1 Неприменимость уравнений Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела диэлектрических сред.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы для описания сред электродинамические параметры, которых либо являются непрерывными функциями координат поля в линейных средах, электродинамические параметры (_а,_а,) которых не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями координат. На практике, чаще всего возникают задачи, в которых присутствуют электродинамические среды, отличающиеся электродинамическими параметрами. На границе раздела сред, где соответствующие параметры меняются скачком, операция дифференцирования, а стало быть, и уравнения Максвелла в дифференциальной форме, незаконна. В этом случае для описания электромагнитного поля при переходе границы раздела сред, используют уравнения Максвелла в интегральной форме.

Соотношения, которые описывают взаимосвязь векторов электромагнитного поля на границе раздела сред, называют граничными условиями.

3.2. Граничные условия для векторов электрического поля Условия для нормальных составляющих векторов е и d. Поверхностные заряды.

На границе раздела двух сред, отличающихся объемом и диэлектрической проницаемостью, выделим элементарную площадку S. Размеры ее настолько малы, что ее можно считать плоской. В пределах площадки нормальная составляющая вектора электрического смещенияна границе раздела в пределахбыла распределена равномерно. НаS, как на основании, построим прямой цилиндр высотойh так, чтобы его основания (и) находились в различных средах. Единичный вектор- нормаль к основаниюсчитается положительной, если она из второй среды в первую.

Применим к этому цилиндру 3-тье уравнение Максвелла в интегральной форме:(1)

Полную поверхность представим в виде суммы:

(2)

Рассмотрим предел для левой части при . Устремимтаким образом, чтобыS₁ и S₂ все время были в разных средах. Очевидно, что в пределе S₁ и S₂ совпадут с площадкой S. Учитывая, что направление векторасовпадает с направлением внешней нормали к поверхности цилиндра для слагаемых, в левой части получим следующее предельное соотношение:

(3)

(4)

(5)

Осуществляя предельный переход при в соотношении(2) с учетом выражения (3), получим:(6).

В данном соотношении следует рассмотреть 2 случая:

1. Пусть, на границе раздела S отсутствуют поверхностные заряды, тогда при любом конечном значении ^э (объемной плотности заряда) предел справа будет равен нулю и, получим: (7)

Из (7) следует, что при отсутствии поверхностного заряда на границе раздела S нормальная составляющая вектора электрического смещения D_n непрерывна при прохождении границы раздела.

2. Будем полагать, что электрические заряды распределены по поверхности S с поверхностной плотностью .

В этом случае предел в правой части (6) можно преобразовать следующим образом: .

Равномерное распределение нормальной составляющей вектора D на границе раздела сред в пределах ∆S сопряжено с условием нормального распределения поверхностной плотности заряда в пределах ∆S.

(8).

Подставляя (8) в (6) получим, что при условии поверхностного распределения заряда граничное условие будет следующим:

(9) .

Из (9) следует, что при наличии поверхностных зарядов на границе раздела нормальная компонента вектора D претерпевает разрыв величина которого определяется аовырхностной плотностью электрических зарядов.

Переходя в (7) к напряжениям электрического поля получим:

или (10)

Переходя в (9) к напряжениям электрического поля получим: (11) – справедливо при наличии поверхностных зарядов. Из (10) и (11) следует, что даже при отсутствии поверхностных зарядов нормальная компонента вектора Е претерпевает разрыв, величина которого определяется соотношением диэлектрических проницаемостей сред. Наличие поверхностных зарядов изменяют величину этого разрыва.

P.S. Поверхностная плотность электрического заряда это удобная идеализация, упрощающая решение задач. Фактически электрический заряд распределен в конечном приграничном слое. Мы прибегаем к понятию плоскости поверхностного заряда, когда нас не интересует значение D в случае заряженного слоя.