Тема 17. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Сумма ряда

Выражение вида

называем рядом; -- n-ый член ряда (1). Сумма называется n-ой частичной суммой ряда (1).

Определение. Суммой ряда (1) называется предел частичных сумм, если . Итак, сумма ряда (1) есть число

т.е. такое число, что для любого найдется натуральное начиная с которого, т.е. для любого выполняется неравенство

Если существует предел (2), то ряд (1) называется сходящимся. В противном случае, ряд (1) называется расходящимся.

Ряд называется n-ым остатком ряда (1) и обозначается . Таким образом, неравенство (3) эквивалентно следующему неравенству

Задача о вычислении суммы ряда (1) с точностью 𝜺 сводится к поиску такого натурального (по возможности наименьшего) числа n, что . Тогда с точностью .

Примеры. а) 0+0+0+… - сходящийся ряд;

б) 𝜺 +𝜺 +𝜺 +… - расходящийся ряд, какое бы малое положительное число 𝜺 мы не взяли;

в) конечная сумма превращается в сходящийся ряд, если положить при ; при этом сумма данного ряда равна исходной сумме;

г) 1+1/2+1/4+1/8+… сходится к числу 2, ибо имеет пределом 2 при n→ ∞ ;

д) .

Предложение. Дописывание или отбрасывание конечного числа слагаемых ряда не влияет на его сходимость (но влияет на его сумму).

Примеры. Найдем сумму ряда

Заметим, что , и поэтому , т.е. 1 - сумма ряда (4).

Необходимый признак сходимости.

Теорема. Если ряд сходится то n-ый член стремится к 0 .

Доказательство. . □

Пример. Гармоническим рядом называется ряд

Для этого ряда но этот ряд расходится, как показывает далее интегральный признак Коши.

Геометрическая прогрессия

- это ряд вида

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Теорема 2. Пусть . Тогда геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда |q|<1. В этом случае сумма геометрической прогрессии равна .

Утверждение следует из равенства □

Арифметические операции с рядами.

Определим сумму двух рядов и как ряд с n-ым слагаемым . Произведение ряда на число  - это ряд .

Теорема. Если ряды и сходятся соответственно к s и t, то сумма этих рядов сходится к числу s+t, а произведение ряда на число  сходится к .

Доказательство вытекает из соответствующих свойств предела.

Теорема сравнения.

Лемма. Пусть дан ряд с неотрицательными слагаемыми. Тогда этот ряд сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены сверху.

Доказательство. Если -- ряд с неотрицательными слагаемыми, то , частичные суммы ряда образуют возрастающую последовательность. Если она, к тому же еще и ограничена, то существование предела , т.е. сходимость ряда следует из теоремы о пределе монотонной ограниченной последовательности (см. главу «Введение в анализ» ). Обратное утверждение вытекает из ограниченности последовательности, имеющей предел. □

Теорема сравнения. Пусть для любого натурального n начиная с некоторого номера . Если ряд сходится, то и рядсходится. Если же ряд расходится, то ряд также расходится.

Доказательство. Отбрасывая, если надо, первые несколько членов рядов и , сводим доказательство к случаю, когда неравенство выполняется для всех Обозначим через частичные суммы ряда , а через обозначим частичные суммы ряда . Тогда . Сходимость ряда влечет ограниченность сверху последовательности , что в свою очередь дает ограниченность последовательности . По лемме получаем сходимость ряда . Наоборот, если ряд расходится, то ряд не может сходится, ибо в противном случае сходился бы и ряд , что противоречит доказанному выше. □

Следствие. Пусть для любого натурального n, начиная с некоторого номера, и существует отличный от 0 предел отношения . Тогда ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости (либо оба сходятся, либо оба расходятся).

Доказательство. Пусть . По условию . Предположим, что ряд сходится. Выберем . Тогда начиная с некоторого . Отсюда вытекает неравенство . Из сходимости ряда следует сходимость ряда (см. «арифметические операции с рядами»). По теореме сравнения получаем тогда, что и ряд сходится. Предположим теперь, что ряд сходится. Так как (именно в этом месте нужно учесть, что ), то мы можем в рассуждениях выше заменить на , а на и на . Получаем сходимость ряда . □

Интегральный признак сходимости Коши

Теорема (интегральный признак сходимости Коши). Пусть - монотонно убывающая, непрерывная и неотрицательная функция при . Положим для всех натуральных n. Тогда ряд и интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. При этом имеет место следующая оценка остатка ряда :

Доказательство по сути вытекает из рисунка. Имеем (*). Если ряд сходится, то и ряд сходится по теореме сравнения. Отсюда следует, что интеграл имеет предел при . Из этого вытекает (с учетом монотонности функции ), что существует предел . Это доказывает сходимость интеграла . Наоборот, если последний интеграл сходится и равен , то для любого . Отсюда и из неравенств (*) следует ограниченность частичных сумм ряда. По лемме из параграфа «теорема сравнения» вытекает сходимость ряда . Оценка остатка ряда следует из неравенства (*):

Следствие. Ряд сходится тогда и только тогда, когда . В частности, гармонический ряд расходится.

Доказательство. Применим теорему, беря в качестве функции . Если , то

в силу того, что . Если , то

ибо неограниченно возрастающая функция. В случае из неравенства и уже доказанной расходимости гармонического ряда вытекает расходимость ряда (применяем теорему сравнения). □

Пример. Ряд сходится, ибо . Так как ряд сходится (здесь ), то по следствию теоремы сравнения получаем сходимость исходного ряда.

Признак Даламбера.

Пусть для всех достаточно больших натуральных n и существует предел отношения , который мы обозначим через d. Если , то ряд сходится; если же , то ряд расходится.

Доказательство. Пусть . Выберем . Тогда начиная с некоторого номера . Следовательно,

Так как геометрическая прогрессия сходится, то по теореме сравнения сходится и ряд . Заменяя получаем сходимость ряда . Отсюда следует сходимость ряда .

Если , то и начиная с неокторого номера. Не выполнено необходимое условие сходимости, следовательно, ряд расходится. □

Пример. Исследуем ряд на сходимость, применяя признак Даламбера. Имеем

Итак, в нашем случае и, следовательно, ряд сходится.

Знакочередующиеся ряды.

Ряд вида

где все , называется знакочередующимся.

Теорема Лейбница. Если последовательность монотонно убывает и стремится к 0, то ряд (1) сходится, причем его сумма меньше .

Доказательство. Последовательность четных частичных сумм

монотонно возрастает, ибо все слагаемые в скобках неотрицательны. С другой стороны,

По теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности получаем существование предела четных частичных сумм. Так как и , то существует предел нечетных частичных сумм, и он совпадает с пределом четных частичных сумм. Отсюда следует существование предела последовательности и совпадении его с . □

Следствие. Остаток ряда (1) меньше первого отброшенного слагаемого.

Пример. Для того, что бы подсчитать

с точностью надо взять всего лишь 7 слагаемых, ибо . Итак

Более точное (калькуляторное) значение -- 0,36787944

Абсолютная сходимость.

Дан ряд с произвольными слагаемыми. Рассмотрим ряд

составленный из абсолютных величин членов исходного ряда.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то и исходный ряд сходится.

Доказательство. Так как и ряд (1) сходится, то по теореме сравнения получаем сходимость ряда . Арифметические операции с рядами показывают, что сходится ряд , равный разности сходящихся рядов и . □

Определение. Ряд такой, что ряд (1), составленный из абсолютных величин сходится, называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (1) расходится, а сам ряд сходится, то ряд называют условно сходящимся.

Пример. Ряд сходится условно, ибо сам он сходится по теореме Лейбница (см. параграф «Знакочередующиеся ряды»), а ряд, составленный из абсолютных величин есть гармонический ряд, который, как мы знаем расходится.