Приложение определённого интеграла

Оглавление

1Площадь плоской фигуры 1

2Полярные координаты 2

2.1Площадь криволинейного сектора 3

3Объём тела 4

4 Длина дуги 5

5Площадь поверхности 7

6Приложение определённого интеграла к вычислению физических величин 8

6.1Длина пути 8

6.2Работа силы 8

6.3Центр тяжести 9

6.4Момент инерции 10

6.5Масса тяжелой нити 11

1. Площадь плоской фигуры

Пусть криволинейная трапеция задана так: с непрерывной неотрицательной функцией . Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна

Пусть теперь криволинейная трапеция задана так: с непрерывной функцией . Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна

Рассмотрим теперь криволинейную трапецию с непрерывными функциями f(x) и g(x) такими, что для любой точки . Тогда площадь S этой криволинейной трапеции равна

Пример. Вычислим площадь фигуры ограниченной графиками

Пусть функция задана параметрически при чем функция биективна, а . Тогда площадь под графиком равна

Пример. Вычислим площадь под первой аркой циклоиды

2. Полярные координаты

Пусть P -- точка на декартовой плоскости . Обозначим через r=r(P) расстояние от P до начала координат и назовём это число полярным радиусом. Через 𝜑 =𝜑 (P) обозначим угол, на который надо повернуть ось до совмещения с направлением вектора ; эту величину назовём полярным углом. Полярный угол не определен для начала координат. Пара называется полярными координатами точки P. Ясно, что

,

, , если и , если

Пример. Нарисуем кривую для n=1, 2,3,4.

n=1 – ⇔ -- окружность радиуса 1/2 с центом в точке (0;1/2)

n=2 – восьмерка. Декартова запись

n=3 – трилистник.

n=4 -- “четырехлистник»

1. Площадь криволинейного сектора

Обозначим через K криволинейный сектор -- фигуру на плоскости, заданную системой неравенств

( -- непрерывная функция.) Найдём площадь S(K) этого сектора. Для этого обозначим через S(τ ) площадь сектора заданного также как и в (1), но с  =τ. Тогда . Придадим приращение переменной . Линеаризуем (найдем дифференциал) приращения , заменив узкий криволинейный сектор на круговой сектор с углом и радиусом . Его площадь равна , -- линейная функция относительно . Следовательно,

Отсюда

Примеры. Площадь лепестка трилистника .

Площадь, ограниченную лемнискатой .

Площадь, ограниченную кардиоидой

3. Объём тела

Пусть в пространстве задано тело V и ось Ox; причём тело расположено в полосе a≤ x≤ b. Предположим, что известна площадь сечения тела плоскостью перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку x. Обозначим эту площадь S(x). Обозначим через V(x) объем левой части тела V, отсекаемого плоскостью . Тогда Δ V -- объем слоя от x до Отсюда . Значит

Следствие (принцин Кавальери) Если два тела имеют одинаковые площади сечения на одинаковой высоте, то объёмы этих тел совпадают.

В частности, если V -- тело вращения, т.е. получено вращением криволинейной трапеции , то сечение плоскостью, проходящей через x и параллельной координатной плоскости OYZ есть круг радиуса . Следовательно, S(x)=π f(x)² в этом случае и объём тела вращения

Определенную выше криволинейную трапецию F можно вращать и относительно оси Oy. При этом надо наложить дополнительное условие 0≤ a. Обозначим через V(x) объём вращения вокруг оси Oy части этой трапеции . Тогда dV можно представлять как площадь кольца с внутренним радиусом x, толщиной dx и высотой равной f(x). Тем самым Отсюда получаем, что объём тела вращения вокруг оси Oy равен

Примеры 1. Объём шара радиус R. Шар представляем как тело вращения полукруга -R≤ x≤ R; вокруг оси Ox. Тогда

Пример 2. Объём "обобщенного конуса" с площадью основания S и высоты H. Пусть вершина конуса имеет координату 0, а основание имеет координату H. Обозначим площадь сечения плоскостью через . Тогда , откуда . Следовательно,

3. Объём обобщённого цилиндра с площадью основания S и высоты H. В обозначениях предыдущего примера имеем S(x)=S. Отсюда

4. Длина дуги

Кривой γ в пространстве называется отображение

. Здесь t называется параметром. Точка называется началом кривой γ , а точка называется концом. Если P=Q, то кривая γ называется замкнутой. Кривая γ называется непрерывной, если функции непрерывны. Кривая называется гладкой, если существуют непрерывные производные , причём они не равны нулю одновременно. Кривая γ называется кусочно-гладкой, если её можно разбить на конечное число гладких кусков.

Примеры. 1. Отрезок прямой

2. Окружность . Считая а) , б) , в) получим разные кривые.

3. Винтовая линия радиуса R и с шагом H

4. Цепная линия - график функции .

5. Периметр квадрата - пример кусочно гладкой, но не гладкой кривой

Длина кривой. Пусть -- точки пространства. Тогда кривую

назовём ломаной, а число назовём длиной этой ломаной. Пусть (1) -- произвольная кривая, и -- разбиение. Обозначим . Тогда ломаную назовём вписанной в . Длиной кривой называется предел длин вписанных ломаных, если максимум длин звеньев стремиться к 0.

Теорема. Пусть -- кусочно-гладкая кривая. Тогда

Доказательство. Обозначим через -- длину кривой (1) с отрезком изменения параметра от  до τ. Тогда

Отсюда следует результат. ??? –более точное док-во

Следствие. Если -- дифференцируемая функция с кусочно непрерывной производной на отрезке , то длина дуги графика этой функции на данном отрезке будет равна

Примеры. 1. Длина отрезка PQ равна

2. Длина окружности

3. Длина одного витка винтовой линии

4. Длина цепной линии

5. Площадь поверхности

Площадь поверхности, полученной вращением графика функции (при условии ) вокруг оси Ох равна

6. Приложение определённого интеграла к вычислению физических величин

1. Длина пути

Тело движется по прямой Ox с известной скоростью . Известно положение тела в начальный момент времени:. Где будет находится тело в момент?

Ответ:

Это следствие формулы Ньютона-Лейбница и того факта, что. Аналогично, если известна зависимость ускорения от времени -- , то

Пример равноускоренного движения. Пусть ускорение постоянно и равно , а тело в начальный момент времени находилось в начале координат и имело нулевую скорость . Тогда ,

2. Работа силы

Пусть тело движется по оси Ox и в каждой точке известна проекция силы, действующей на это тело, на ось -- . Тогда работа силы при перемещении из точки a в точку b равна

Пример. Сила действующая на пружину растянутую на x относительно положения равновесия равна . Отсюда работа этой силы будет

3. Центр тяжести

Пусть в пространстве задана система точечных масс (1≤ i≤ n). Тогда, по определению, центр тяжести данной системы -- это точка

где -- масса всей системы.

Пусть теперь задана однородная плоская пластинка

Найдём центр тяжести этой пластинки. Для этого разобьём пластинку D на полоски прямыми . Каждую полоску аппроксимируем прямоугольником

Её центр тяжести находится в точке , а масса равна . Заменим всю пластинку на систему точечных масс . Тогда приближённо центр тяжести пластинки равен

где -- масса пластинки, -- поверхностная плотность, а -- площадь пластинки. Переходя к пределу , и сокращая на, получим окончательную формулу

где .

4. Момент инерции

Пусть -- система точечных масс. Моментом инерции этой системы относительно точки P (прямой ℓ , плоскости π ) называется число

где -- расстояние от i-ой точки до точки P (прямой ℓ , плоскости π ).

Момент инерции однородного цилиндра относительно своей оси. Обозначим R -- радиус цилиндра, H -- высоту цилиндра, c -- плотность. Обозначим также через , () момент инерции такого же цилиндра, но радиуса . Тогда

Отсюда . Здесь M -- масса цилиндра.

Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр. Пусть R -- радиус шара. Ось Ox проходит через центр шара. Пусть () -- момент инерции части шара, состоящей из точек, удаленных от начала координат на расстояние относительно начала координат. Тогда

Отсюда где M -- масса шара.

Заметим, что ( -- моменты инерции оносительно координатных осей). В нашем случае Отсюда

5. Масса тяжелой нити

Пусть ,  ≤ t ≤  -- кусочно гладкая кривая, описывающая форму нити с линейной плотностью c(t). Тогда масса нити вычисляется по формуле

11